Возведение матрицы в степень

Возведение матрицы в степень – последовательное умножение матрицы на саму себя: C = Aⁿ = A * A ... * A. В случае отрицательной степени осуществляется нахождение обратной матрицы и возведение её в соответствующую положительную степень C = A^{— n} = (A^—1)ⁿ. Матрицы перемножаются по правилам умножения матриц.

Условия:

матрица A должна быть квадратной
если степень отрицательная, матрица A должна быть квадратной и невырожденной

Примеры:

Квадратная матрица:

C = [[8, 6], [2, 4]] ^ 2;
C = [[76 , 72];[24 , 28]];

C = [[8, 6], [2, 4]] ^ 2;
C = [[0.07 , -0.18];[-0.06 , 0.19]];

Прямоугольная матрица:
```
C = [[1, 2, 5], [3, -4, 6]] ^ 2;  
// Ошибка: Размерности матриц не подходят
```
Умножение невозможно. Будет выведена ошибка "Размерности матриц не подходят"
```
C = [[1, 2], [3, -4], [5, 6]] ^ 2; 
// Ошибка: Размерности матриц не подходят
```
Умножение невозможно. Будет выведена ошибка "Размерности матриц не подходят"

Поэлементное возведение матрицы в степень

Каждый элемент матрицы A возводится в заданную степень.

Примеры:

Квадратная матрица:

C = [[8, 6], [2, 4]] .^ 2;
// C = [[64 , 36];[4 , 16]];

Прямоугольная матрица:

C = [[1, 2, 5], [3, -4, 6]] .^ 2;  
// C =[[1 , 4 , 25];[9 , 16 , 36]]

C = [[1, 2], [10, -4], [5, 8]].^ (-1);
// C = [[1 , 0.5];[0.1 , -0.25];[0.2 , 0.125]]

Поэлементное возведение матрицы в степень матрицы

Поэлементное возведение матрицы A в степень матрицы B: C = A.^B. Каждый элемент матрицы A, a_{i, j} возводится в степень, равную значению элемента матрицы B с тем же индексом, b_{i, j}.

Условия:

количество строк матриц A и B должно совпадать: rows(A) = rows(B)
если количество столбцов матриц различается, недостающие столбцы автоматически дополняются нулями до размера более широкой матрицы:
- если cols(B) > cols(A), то матрица A справа дополняется нулевыми столбцами. В результирующей матрице C на этих позициях будут 0 (поскольку 0^x = 0, исключение: 0^0 = 1)
- если cols(B) < cols(A), то матрица B справа дополняется нулевыми столбцами. В результирующей матрице C на этих позициях будут 1 (поскольку x^0 = 1)

Примеры:

Матрицы одинаковой размерности:

C = [[1, 2], [3, 4]] .^ [[1, 2], [3, 4]];
// C = [[1 , 4];[27 , 256]];

C = [[1, 2], [3, 6], [5, 4]] .^ [[1, -2], [3, 0], [-3, 0.5]];
// C = [[1 , 0.25];[27 , 1];[0.008 , 2]];

Матрицы разной размерности такие, что rows(A) = rows(B), cols(B) < cols(A):

C = [[1, 2], [3, 6], [5, 4]] .^ [[1], [3], [2]];
// C = [[1 , 1];[27 , 1]; [25, 1]];

C =  [[1, 2, 5], [3, 4, 6]] .^ [[1, 2], [3, 4]];  
// C = [[1 , 4 , 1];[27 , 256 , 1]];

Матрицы разной размерности такие, что rows(A) = rows(B), cols(B) ≥ cols(A):
```
C =  [[1, 2, 5], [3, 4, 6]] .^ [[1, 2, 4, 3], [3, 4, 2, 1]];  
// C = [[1 , 4 , 625 , 0];[27 , 256 , 36 , 0]];
```
Матрицы разной размерности такие, что rows(A) ≠ rows(B):
```
C =  [[1, 2, 5], [3, 4, 6]] .^ [[1, 2, 5]];  
// Ошибка: Размерности матриц не подходят
```
Поэлементное возведение в степень невозможно. Будет выведена ошибка "Размерности матриц не подходят".
```
C =  [[1, 2, 5], [3, 4, 6]] .^ [[1, 2], [3, 4], [4, 6]];  
// Ошибка: Размерности матриц не подходят
```
Поэлементное возведение в степень невозможно. Будет выведена ошибка "Размерности матриц не подходят".