Методы проектирования фильтров

Методы построения структур БИХ-фильтров

Пусть передаточная функция прямой формы цифрового фильтра определяется отношением вида:

Используя обратное Z-преобразование, возможно получить прямую форму реализации БИХ-цепи M-го порядка:

Графическое отображение прямой формы реализации представлено на рисунке (Рисунок 1).

Верхняя половина структуры цифровой цепи прямой формы реализует нули передаточной функции, а нижняя половина - ее полюсы. Фильтры, формирующие нули и полюсы, соединены последовательно.

При изменении порядка суммирования нулей и полюсов возможно получить следующую форму реализации (Рисунок 2).

Исключив лишнюю линию задержки для промежуточной переменной V(n), получается каноническая форма реализации БИХ-цепи (Рисунок 3).

Каноническая форма позволяет уменьшить емкость памяти данных до двух раз. Однако прямая и каноническая формы используются на практике только для фильтров, порядок которых меньше пяти, M < 5, так как с увеличением порядка M многократно увеличивается чувствительность частотных характеристик к неточному представлению коэффициентов, и появляется проблема устойчивость их работы.

На практике чаще используется последовательная, или, но реже, параллельная формы реализации БИХ-цепи в виде последовательного и параллельного соединения звеньев первого и второго порядков.

Параллельная форма

N₁ – число фильтров первого порядка;

N₂ – число фильтров второго порядка.

Параллельная форма реализации БИХ-цепи представлена на рисунке (Рисунок 4).

Последовательная форма

При представлении числителя и знаменателя передаточной функции прямой формы в форме произведения простых сомножителей первого и второго порядка, возможно получить следующее выражение:

Последовательная форма реализации БИХ-цепи представлена на рисунке (Рисунок 5).

Методы построения КИХ-фильтров. Линейная свертка

Одним из широко распространенных методов построения КИХ-фильтров является метод линейной свертки.

Реализация свертки в прямой форме предполагает, что для КИХ-фильтра N-го порядка используется вычисление выхода сигнала y(n) по выражению вида:

Реализация свертки в прямой форме для КИХ-фильтра представлена на рисунке (Рисунок 6).

Реакция цифрового фильтра y(n), согласно приведенному выше выражению, представляет собой сумму сдвинутых по времени и взвешенных входной последовательностью x(n - k) отсчетов импульсной характеристики h(k).

Вычисление реакции y(n) на выходе КИХ-фильтра по заданной последовательности x(n) отсчетов входного сигнала и импульсной характеристики h(k) представлено на рисунке (Рисунок 7).

Билинейное преобразование

Основной метод расчета передаточной характеристики цифрового фильтра H(z) строится на основе передаточной характеристики аналогового фильтра H(s) - прототипа. Такой подход называется методом билинейного Z-преобразования.

Он осуществляется подстановкой:

где Т - период дискретизации сигнала.

Если s = 0, то z = 1. Если s = σ только вещественно, то z = (2 + σ·T)/(2 - σ·T), причем при s = σ < 0 модуль |z| < 1, а при s = σ > 0 модуль |z| > 1.

Если s = j·ω только мнимо, то получается отношение комплексно-сопряженных чисел, модуль которого всегда равен |z| = 1.

Если s = σ + j·ω, то при σ < 0 модуль |z| < 1, а при σ > 0 модуль |z| > 1.

При билинейном Z-преобразовании мнимая ось плоскости s переходит в единичную окружность на плоскости z, причем левая полуплоскость плоскости s отображается внутрь единичной окружности плоскости z, а правая полуплоскость плоскости s отображается вне единичной окружности. Отображение плоскости s в плоскость z при билинейном преобразовании показано на рисунке (Рисунок 8).

Таким образом, билинейное Z-преобразование позволяет осуществить переход из s плоскости в z-плоскость при помощи дробно-рациональной подстановки. Поскольку в числителе и знаменателе этой подстановки полиномы только первой степени, то при переходе от передаточной характеристики аналогового фильтра H(s) к цифровому фильтру с передаточной характеристикой H(z) максимальная степень полиномов числителя и знаменателя не изменится, а значит не изменится и порядок фильтра.

Литература