Лабораторная работа №3 по курсу «компьютерное моделирование технических систем автоматического управления»
Цели работы:
- Освоить первоначальный набор навыков работы в SimInTech для моделирования дискретных процессов управления техническими объектами.
- Приобрести навык перехода от конечно-разностного уравнения к передаточной функции и обратно.
Задачи работы:
- Освоить отдельные понятия и вопросы теории автоматического управления импульсными и дискретными системами (квантование по времени и по уровню, период и частота квантования, фиксатор нулевого порядка, экстраполятор, дискретный закон управления, цифровой фильтр).
- Закрепить навыки формирования структурной схемы модели, выбора метода и параметров интегрирования, ввода свойств блоков, вывода данных расчета.
- Приобрести первичные навыки использования скриптов.
- С помощью компьютерного эксперимента исследовать эффекты квантования.
- Исследовать законы обработки сигналов «скользящее среднее» и «авторегрессия со скользящим средним».
- Исследовать оператор запаздывания.
- Оформить отчет о результатах исследования.
Объект исследования
Как известно, квантование по времени – это получение выборки значений аналогового сигнала в фиксированные моменты времени с некоторым периодом Т. Например, квантование синусоидального сигнала
x = Asin(ωt+φ)
с периодом T состоит в том, что из него выбираются значения
x[k] = x(kТ)Asin(ωkТ+φ)
при целых значениях k. Дискретная последовательность значений
{x[k]} = {x[0], x[1],…}
представляет собой оцифрованный сигнал.
Информация о значениях сигнала между моментами квантования в дискретной последовательности отсутствует. Однако согласно теореме Котельникова-Шеннона сигнал можно точно восстановить, если частота квантования ωкв по крайней мере в 2 раза превышает максимальную частоту в спектре сигнала:
ωкв ≥ 2ωmax или T = 2π/ωкв ≤ π/ωmax
Рисунок 1. Схематическое изображение фильтра.
u[k] = a2·x[k] + a1·x[k–1] + a0·x[k–2] – b1·u[k–1] – b0·u[k–2].
Здесь a2, a1, a0, b1 и b0 – коэффициенты фильтра; x[k] – текущее (только что полученное) значение входного сигнала; x[k–1] и x[k–2] – два предыдущих значения входного сигнала, полученные соответственно в моменты k–1 и k–2; u[k–1] и u[k–2] – два предыдущих значения выходного сигнала.
Уравнение можно использовать, чтобы вычислить реакцию такого фильтра на единичный ступенчатый входной сигнал x[k], который равен 0 при всех k < 0 и равен 1 при всех k3 0:
… = x[–2] = x[–1] = 0
x[0] = x[1] = x[2] = … = 1
Подставляя эти значения в , получаем
u[0] = a2·u[0] = a2
u[1] = a2·x[1] + a1·x[0] – b1·u[0] = a2 + a1 – b1·u[0]
u[2] = a2 + a1 + a0 – b1·u[1] – b0·u[0]
Так последовательно можно найти значения u[k] при всех k.
В общем случае фильтр может быть представлен более сложным разностным уравнением или алгоритмическим блоком (АБ).
У дискретных систем переходный процесс может заканчиваться за конечное число шагов. Фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры) описываются моделью типа «скользящее среднее»:
u[k] = aN x[k] + aN-1x[k -1] +…+ a0 x[k - N].
Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры) описываются так называемой авторегрессионной моделью со скользящим средним:
u[k ] + bN-1u[k -1] +…+ b0 u[k - N] = aN x[k] + aN-1 x[k -1] +…+ a0 x[k - N].
C использованием оператора запаздывания z-1, такого что
z-1u[k] = u[k–1], z-2u[k] = u[k–2], … z-mu[k] = u[k–m],
уравнение можно записать в операторном виде:
u[k]+b1∙z-1u[k]+b0∙z-2u[k] = a2∙x[k]+a1∙z-1x[k]+a0∙z-2x[k]
откуда
Умножая числитель и знаменатель на z2, получим
Функция
называется передаточной функцией цифрового фильтра второго порядка. Для фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтра) знаменатель передаточной функции имеет вид zN, т.е. b1 = b2 = … = bN = 0; например, при N = 2
Напомним, что установившееся значение на выходе фильтра при единичном ступенчатом входе можно найти, подставив в передаточную функцию C(z) вместо z единицу:
Дискретный сигнал на выходе фильтра подвергается преобразованию в аналоговый. В простейшем случае восстановление непрерывного сигнала по дискретным значениям – это удержание очередного полученного значения в течение всего следующего интервала квантования. Соответствующий элемент называется фиксатором нулевого порядка. В более общем случае восстанавливающий элемент структурной схемы системы называется экстраполятором.
