Длинная труба с нежесткими стенками
Описание демо-примера
Расположение
Demo\Теплогидравлика\Трубы\Длинная труба с нежесткими стенками\Длинная труба с нежесткими стенками.prt
Описание
В примере представлена модель течения воды по длинному каналу с нежесткими стенками после скачка давления на входе.
Рассматривается задача о течении воды в длинной трубе. Рассматривается труба длиной 10 километров, с начальным давлением 10 бар (1 МПа) и температурой 20°C. В некоторый момент времени давление в левом граничном узле поднимается от начального значения 1 МПа до конечного значения 6 МПа (линейно, за 2 секунды), и по трубе слева-направо начинает двигаться волна сжатия. По времени прохождения волны можно оценить расчётную скорость звука в модели - получается, что 10000 метров волна проходит примерно за 6 секунд, что соответствует скорости звука порядка 1660 м/с.
Теоретически скорость звука в среде находится из соотношения a = (K/ro)0.5, где K - модуль объёмной упругости среды (K = -V/(dV/dP)), а ro - плотность среды. Для воды значение K составляет порядка 2000 МПа, а плотность - около 1000 кг/м3. Тогда a = (2e9/1e3)0.5 = 1414 м/с. Отличие в скоростях звука объясняются следующим образом:
в физике различают адиабатический и изотермический модуль упругости. Первый больше второго (приблизительно в 1,5 раза для газов) и проявляется при быстротечных процессах сжатия жидкости без теплообмена. Использованное выше значение К является значением изотермического модуля упругости. В нашей же модели как раз исследуется процесс, протекающий без теплообмена. Можно оценить получающийся у нас адиабатный модуль упругости воды: K = ro*(a2) = 965*16602 = 2660 МПа.
Рассмотрим влияние на скорость распространения волны возмущения упругости стенок. В скрипте при помощи формулы из курса сопротивления материалов для толстостенной трубы вычисляется характеристика жёсткости трубы dS/dP (изменение площади проходного сечения при изменении внутреннего давления). Эта характеристика учитывается при решении уравнений сохранения при установке значения свойства "Учитывать изменение площадей и объёмов от давления в процессе решения?" в "Параметрах расчёта" на "Да". После этого по прохождению волны давления вновь можно оценить скорость звука. Она получается равной примерно 880 м/с. Это значение хорошо согласуется с теоретическим, вычисленным по формуле Жуковского:
a = 1/(ro*((1/K)+(d/(delta*Eст))))0.5, где d - внутренний диаметр трубы, delta - толщина стенки, Eст - модуль упругости стенки. Если подставить сюда K = 2660 МПа, d = 990 мм, delta = 5 мм, Eст = 2e11 Па, то получим a = 871 м/с. Можно также оценить, что при изменении давления на 5 МПа диаметр проходного сечения трубы изменится на 2,47 мм, что составляет 0,25 % от начального диаметра. Таким небольшим изменением в принципе можно пренебречь при гидродинамических расчётах.
При подъёме давления в левом граничном узле, по трубе начинает перемещаться волна давления. Примерно за 7 проходов волны по трубе туда-обратно устанавливается линейное распределение давления по длине трубы и установившееся значение скорости. Если выбрать в параметрах расчёта тип модели "Гомогенная несжимаемая", то линейное распределения давления по длине трубы устанавливается в процессе расчёта мгновенно, что соответствует бесконечно большой скорости распространения возмущений в среде.