Модель эпидемии - калибровка

Расположение

C:\SimInTech64\Demo\Автоматика и математика\Математические задачи\Модель эпидемии

Описание

В демо примере рассмотрена модель распространения инфекции SIR.

Система уравнений модели SIR выглядит следующим образом:

где

• S(t) – численность восприимчивых индивидов в момент времени t;
• I(t) – численность инфицированных индивидов в момент времени t;
• R(t) – численность переболевших индивидов в момент времени t;
• β – коэффициент интенсивности контактов индивидов с последующим инфицированием;
• γ – коэффициент интенсивности выздоровления инфицированных индивидов;
• N – базовое нормировочное число (если 1, то система рассчитывается в абсолютных значениях).

Для моделирования коэффициент масштабирования времени принят равным 1 день = 1 секунда в программе.

Значения коэффициентов модели:

• S(t=0) = 1000 – численность восприимчивых индивидов в начальный момент времени;
• I(t) = 1 – численность инфицированных индивидов в начальный момент времени;
• R(t) = 0 – численность переболевших индивидов в начальный момент времени;
• β = 0.001;
• γ =0.1;
• N = 1 – расчёт в абсолютных значениях.

Численное интегрирование будем производить методом Рунге-Кутты 4-го порядка с фиксированным шагом в 0.001 (день).

Коэффициенты β и γ данной модели могут быть рассчитаны на основе теории вероятности, но обычно они вычисляются на основе статистики заболеваемости в конкретных условиях, т.к. они в свою очередь зависят от большого количества разнообразных факторов (плотность населения, его мобильность, и т.п.). Имея статистику заболеваемости можно выполнить подбор коэффициентов модели, используя минимизацию функционала качества методом градиентной оптимизации. Процесс подбора коэффициентов модели называется калибровкой.

Для того чтобы осуществить калибровку модели, в исходную модель необходимо добавить расчёт критерия оптимизации. В данном случае мы можем использовать интеграл относительной ошибки, поделенный на суммарное время расчёта. Оптимизацию будем производить на синтетических данных сформированных по результатам моделирования исходной модели в пределах 20 сек с шагом моделирования 1 сек. Эталонные результаты будут считываться из текстового файла данных.

В результате расчета получены коэффициенты β и γ, которые используются в модели эпидемии.

Используемые блоки

Константа, перемножитель, усилитель, интегратор, сравнивающее устройство, временной график, мультиплексор, демультиплексор, из файла, абсолютное значение, делитель, суммирование элементов вектора, оптимизатор.