Описание демо-примера
Расположение
C:\SimInTech64\Demo\Автоматика и математика\Математические задачи\Модель эпидемии\SIR - модель эпидемии - калибровка
Описание
В демо примере рассмотрена модель распространения инфекции SIR.
Система уравнений модели SIR выглядит следующим образом:
где
- S(t) – численность восприимчивых индивидов в момент времени t;
- I(t) – численность инфицированных индивидов в момент времени t;
- R(t) – численность переболевших индивидов в момент времени t;
- β – коэффициент интенсивности контактов индивидов с последующим инфицированием;
- γ – коэффициент интенсивности выздоровления инфицированных индивидов;
- N – базовое нормировочное число (если 1, то система рассчитывается в абсолютных значениях).
Для моделирования коэффициент масштабирования времени принят равным 1 день = 1 секунда в программе.
Значения коэффициентов модели:
- S(t=0) = 1000 – численность восприимчивых индивидов в начальный момент времени;
- I(t) = 1 – численность инфицированных индивидов в начальный момент времени;
- R(t) = 0 – численность переболевших индивидов в начальный момент времени;
- β = 0.001;
- γ =0.1;
- N = 1 – расчёт в абсолютных значениях.
Численное интегрирование будем производить методом Рунге-Кутты 4-го порядка с фиксированным шагом в 0.001 (день).
Коэффициенты β и γ данной модели могут быть рассчитаны на основе теории вероятности, но обычно они вычисляются на основе статистики заболеваемости в конкретных условиях, т.к. они в свою очередь зависят от большого количества разнообразных факторов (плотность населения, его мобильность, и т.п.). Имея статистику заболеваемости можно выполнить подбор коэффициентов модели, используя минимизацию функционала качества методом градиентной оптимизации. Процесс подбора коэффициентов модели называется калибровкой.
Для того чтобы осуществить калибровку модели, в исходную модель необходимо добавить расчёт критерия оптимизации. В данном случае мы можем использовать интеграл относительной ошибки, поделенный на суммарное время расчёта. Оптимизацию будем производить на синтетических данных сформированных по результатам моделирования исходной модели в пределах 20 сек с шагом моделирования 1 сек. Эталонные результаты будут считываться из текстового файла данных.
В результате расчета получены коэффициенты β и γ, которые используются в модели эпидемии.
