Кольцевой модулятор

Расположение

C:\SimInTech64\Demo\Автоматика и математика\Гибридные системы\Кольцевой модулятор

Описание

Решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений кольцевого модулятора является отличным примером реальной задачи математического моделирования в технических системах высокой жёсткости. Электрическая схема кольцевого модулятора приведена на рисунке ниже (Рис. 1). Получая на входе низкочастотный сигнал U_in1 и высокочастотный сигнал U_in2, кольцевой модулятор генерирует на выходе смешанный сигнал U₂.

Рис. 1. Электрическая схема кольцевого модулятора

Каждый конденсатор, входящий в радиоэлектронную схему, приводит к появлению дифференциального уравнения CU'=I. Применение первого правила Кирхгофа для электрической цепи приводит к дифференциальным уравнениям:

где

Функция, определяющая поведение диода, задается в виде , где γ и δ – константы. Каждый индуктор также приводит к дифференциальному уравнению LI'=U. Применение второго правила Кирхгофа к замкнутой цепи, содержащей индуктор, приводит к восьми дифференциальным уравнениям:

В начальный момент времени напряжения и силы токов отсутствуют, следовательно, начальные условия по всем переменным равны нулю. Отождествляя напряжения с y_i, 1 ≤i ≤7, и силы токов с y_i, 8 ≤i ≤15, то есть, полагая

получим пятнадцать дифференциальных уравнений:

где y ∈R¹⁵; y(0)=0; 0≤t≤10^-3.

Вспомогательные функции U_D1, U_D2, U_D3, U_D4, q, U_in1 и U_in2 задаются формулами:

Расчеты проводились со следующими параметрами: C=1.6*10-8; C_S=2*10^-12; C_p=10^-8; L_S1=0.002; L_S2=5*10^-4; L_S3=5*10^-4; γ =40.67286402*10^-9; δ=17.7493332; R=25000; R_p=50; R_g1=36.6; R_g2=17.3; R_g3=17.3; R_i=50; R_c=600.

Для тестирования была создана программная модель в среде моделирования SimInTech со следующими параметрами:

Минимальный шаг – 10^-14;
Максимальный шаг – 10^-6;
Абсолютная ошибка – 2*10^-6;
Относительная ошибка – 2*10^-6;
Время моделирования (t) – 10-3.

Результаты моделирования приведены в таблице.

Табл. 1. Результаты моделирования "Кольцевой модулятор"
Метод	Время расчёта (с)
RK23	Нет данных
RK23ST	4:39:00
RKF78	2:31:17
RKF78ST	Нет данных
Адаптивный 1	6:03
Адаптивный 4	0:17

Рис. 2. Результаты моделирования методом RK23

Рис. 3. Результаты моделирования методом Адаптивный 1

Рис. 4. Результаты моделирования методом RK23ST

Рис. 5. Результаты моделирования методом RKF78

Рис. 6. Результаты моделирования методом RKF78ST

Рис. 7. Результаты моделирования методом Адаптивный 4

Результаты моделирования продемонстрированы на рисунках (Рис. 2, Рис. 3, Рис. 4, Рис. 5, Рис. 6, Рис. 7). По результатам, метод RK23 не смог верно рассчитать данную задачу в виду отсутствия проверки на устойчивость, что позволило методу RK23ST провести моделирование корректно. Все методы, кроме RK23, показали схожие результаты. Однако, время расчёта методом Адаптивный 4 было значительно ниже, чем у RK23ST, RKF78.

В таблице (Табл. 1)приведены времени расчёта для каждого метода. Адаптивные методы с существенно жесткими задачами высокой размерности в данном случае справились значительно лучше, чем RK23ST и RKF78.

Используемые блоки

Язык программирования, синусоида, временной график.