Осциллирующие массы

Описание демо-примера

Расположение

C:\SimInTech64\Demo\Автоматика и математика\Гибридные системы\Осциллирующие массы

Описание

Физическая система состоит из двух пружин, один конец каждой неподвижно закреплен. К свободным концам прикреплены грузы ненулевой массы. Система выводится из состояния равновесия путем смещения одного или двух грузов из нейтрального положения.

Система может находиться в одном из двух локальных состояний: "раздельно" и "вместе". В состоянии "раздельно" непрерывное поведение описывается системой уравнений с ограничением:

где m1, m2– массы грузов; k1, k2 – жесткости пружин; n1, n2– нейтральные координаты грузов; x1, x2– координаты грузов; ν1, ν2 – скорости грузов; s – совокупная жесткость пружин в состоянии "вместе". Состоянию "вместе" соответствует условие ограничения (x1=x2) и (ν1>ν2) и система уравнений:

В момент соударения происходит изменение правых частей уравнений движения (скорости и ускорения) грузов в соответствии с законом сохранения импульса. В этом состоянии массы удерживаются с экспоненциально убывающей жесткостью. И когда разность сил натяжения пружин превосходит жесткость, система переходит в состояние "раздельно".

Параметры системы:

Для тестирования была создана модель вышеописанной системы в среде моделирования SimInTech со следующими параметрами:

  • Минимальный шаг – 10-6;
  • Максимальный шаг – 0,1;
  • Абсолютная ошибка – 10-4;
  • Относительная ошибка – 10-4;
  • Начальный шаг – 10-3;
  • Время моделирования (t) – 20.

Результаты моделирования методами RK23, RK23ST, RKF78, RKF78ST и Адаптивный 1 продемонстрированы на рисунках 1-10. Данные графики демонстрируют результаты, полученные на всем времени моделирования и временном промежутке, находящимся в окрестности первого переключения модели в состояние "вместе". В таблице 1 указаны время первых четырех смен состояния, и сравнение с аналитическим решением данной задачи (см. документ "Аналитическое решение осциллирующих масс").

Табл. 1. Таблица 1. Результаты моделирования осциллирующих масс
Метод Точность 1-я смена состояния 2-я смена состояния 3-я смена состояния 4-я смена состояния
Время ∆t Время ∆t Время ∆t Время ∆t
RK23 1e-6 1.7695 0 4.215 -0.007 9.97 0.041 11.9 -0.49
RK23ST 1.7695 0 4.223 0 9.963 0.033 11.903 -0.044
RKF78 1.7719 0.024 4.205 0 9.967 0.029 11.807 -0.142
RKF78ST 1.7719 0.024 4.205 0 9.967 0.029 11.807 -0.142
Адаптивный 1 1.7672 -0.0026 4.064 -0.158 9.977 0.047 11.805 -0.144




Рис. 1. Результаты моделирования методом RK23. Первый переход из состояния "раздельно" в "вместе"
Рис. 1. Результаты моделирования методом RK23


Рис. 3. Результаты моделирования методом RK23ST


Рис. 4. Результаты моделирования методом RK23ST. Первый переход из состояния "раздельно" в "вместе"


Рис. 5. Результаты моделирования методом RKF78


Рис. 6. Результаты моделирования методом RKF78. Первый переход из состояния "раздельно" в "вместе"


Рис. 7. Результаты моделирования методом RKF78ST


Рис. 8. Результаты моделирования методом RKF78ST. Первый переход из состояния "раздельно" в "вместе"


Рис. 9. Результаты моделирования методом Адаптивный 1


Рис. 10. Результаты моделирования методом Адаптивный 1. Первый переход из состояния "раздельно" в "вместе"

Несмотря на то, что результаты всех использованных методов схожи, но при рассмотрении момента первого переключения модели имеются различия. С учётом того, что теоретическое время момент переключения составляет 1,7695 с, то наиболее точным к теоретическому значению оказались методы RK23 и RK23ST, а наложение координат масс находится в пределах допустимой ошибки моделирования. Однако, метод Адаптивный 1 имеет меньшую ошибку наложения координат масс, но срабатывает значительно раньше теоретического времени (1,7695 с). Методы RKF78 и RKF78ST сработали позже и имеют наибольшую ошибку наложения координат масс, т.к. это связано с высоким порядком и меньшим шагом интегрирования на момент переключения.

Используемые блоки

Язык программирования, ступенька, временной график.