Моделирование гидропривода

Описание системы

Объектом исследования является система, состоящая из цилиндрического плунжера диаметром 10 мм с приведенной массой 100 кг. Плунжер работает на пружину жесткостью 200 Н/мм и демпфер с коэффициентом вязкого трения 1000 Н/(м/с). Если в полость с начальным объемом 20 см³ подать ступенчато давление 200 бар, то для предотвращения деформации плунжера необходимо установить дроссель диаметром 0,2 мм между источником давления и камерой.

Для получения графика зависимости перемещения плунжера x от времени t необходимо воспользоваться уравнением движения плунжера:

где m - масса плунжера, A_p – площадь плунжера, c_pr – жесткость пружины, b_tr – коэффициент вязкого трения, p – давление в камере.

Необходимо обратить внимание на выбор положительного направления перемещения и на знаки действующих сил. На рисунке (Рисунок 1) видно, что в качестве положительного направления выбрано перемещение плунжера вправо. Тогда сила со стороны жидкости в уравнении будет со знаком «плюс», сила со стороны пружины и демпфера со знаком «минус».

Создание нового проекта

Откроется новое Рабочая область проекта «Схема модели общего вида», в котором будет проходить описание системы.

Добавление блоков

Константы задаются через запятую, после последней ставится точка запятой (Рисунок 2). Все константы заданы в стандартных единицах измерений. Расчет площади проходного сечения рассчитывается в секции инициализации, которая выполняется только один раз при старте расчета. Константы и переменные, заданные в данном окне, доступны в любой части проекта.

Перед тем, как приступать к выполнению следующего пункта лабораторной работы, необходимо сохранить проект.

Задание свойств блокам на схеме

В блоке «Язык программирования» имеется возможность записывать уравнения динамики объекта в форме Коши. Прежде чем перейти к записи модели преобразуем уравнение, в систему двух уравнений, добавив новую переменную – скорость v(t) = dx(t)/dt. Таким образом, уравнения движения примет вид:

input P; – вход в блок (давление).

оutput x; – выхода из блока.

init x = 0, v = 0; – объявление динамических переменных и присвоение им начальных значений.

Далее описаны уравнения, которые выполняются на каждом шаге моделирования. Записанные уравнения на языке программирования практически повторяет систему уравнений, где производные dx(t)/dt и dv(t)/dt обозначены как x’ и v’.

Перед тем, как приступать к выполнению следующего пункта лабораторной работы, необходимо сохранить проект.

Настройка параметров расчета

Закрыть окно «Параметры расчета», при этом внесенные изменения будут сохранены автоматически.

Перед тем, как приступать к выполнению следующего пункта лабораторной работы, необходимо сохранить проект.

Моделирование работы

Результат расчета на рисунке (Рисунок 9) показывает, что в момент возникновения давления на 1 секунде происходит быстрый разгон плунжера, из-за инерции движения, плунжер проскакивает точку равновесия, пружина сжимается и возвращает поршень назад, возникают затухающие колебания за счет сопротивление трения.

Установить в скрипте проекта прежнюю массу плунжера равную 100 кг. Для этого требуется открыть скрипт проекта и изменить значение «m» на «100».

Еще одним способом проверки правильности модели будет сравнение конечного перемещения, полученного в модели и рассчитанного из условия равновесия системы. В случае равновесия сила, действующая на плунжер (P_st·A_p), уравновешивается силой сжатой пружины (C_pr·x_st), где

P_st – давление статическое;

x_st – перемещение поршня (сжатие пружины);

P_st ·A_p = C_pr·x_st или x_st = P_st·A_p/C_pr.

Результаты моделирования совпадают со статическим расчетом (Рисунок 12). Таким образом, модель выходит на правильные значения положения и при 150 бар и при 250 бар.

Получив и проверив модель плунжера с пружиной, нужно переходить к модели камеры. Перед тем, как приступать к выполнению следующего пункта лабораторной работы, необходимо сохранить проект.

Входным сигналом для модели плунжера является давление в рабочей камере. В гидроприводе жидкость сжимается с давлением от 160 бар и выше. Сжимаемость жидкости описывается следующим образом:

где: ṗ — скорость изменения давления; E — приведенный объемный модуль упругости рабочей жидкости; V — объем сжимаемой рабочей жидкости; Q — расход, поступающий в рабочую камеру.

Это выражение выводится, путем разнесения дифференциалов давления и объема по разные стороны знака равенства, и продифференцировав обе части по времени, из формулы определения объемного модуля упругости:

Давление будет меняться тем быстрее, чем выше модуль упругости рабочей жидкости E, и тем медленнее, чем больше объем этой жидкости V. Поэтому модуль упругости в числителе, а объем — в знаменателе. В скобках - алгебраическая сумма расходов. В данном случае расход осуществляется через дроссель Q и с учетом геометрического расхода, связанного с перемещением плунжера. Положительное значение расхода Q при прочих равных будет приводить к росту давления (положительная скорость изменения давления), а положительная скорость перемещения плунжера к падению давления. Поэтому расход через дроссель в уравнении со знаком «плюс», а геометрический расход со знаком «минус».

Объем камеры описывается следующей формулой:

где V₀ — объем жидкости при нулевом положении x(t) поршня.

Влияние изменения объема жидкости незначительно, и для предотвращения возможных ошибок (например, в случае отрицательных значений x), рекомендуется принять постоянный объем, который равен половине разницы между объемами в конечном и начальном положениях.

Теперь необходимо настроить источник расхода в камеру. На модель плунжера с пружиной подавалось давление 200е5 Па (200 бар) с помощью блока «Ступенька». Теперь необходимо из блока с моделью плунжера подать такой расход, чтобы в камере сформировалось давление 200 бар. Если использовать блок «Ступенька», то при его включении начнется подача постоянного расхода, который будет поддерживаться на протяжении всего времени моделирования. Однако, для достижения требуемого повышения давления необходимо подать расход в камеру только на определенное время, достаточное для создания давления в 200 бар, а затем прекратить подачу.

На графике видно, что в течении 0,1 секунды пока идет подача расхода в камеру идет перемещение плунжера, которое потом затухает быстрее, чем без камеры (с мгновенным ростом давления). Видно, что положение плунжера примерно соответствует полученному при отдельном моделировании.

Перед тем, как приступать к выполнению следующего пункта лабораторной работы, необходимо сохранить проект.

Уравнение описывающее расход через дроссель:

где: f – площадь сечения дросселя; μ – коэффициент расхода; p_n–давление нагнетания; p – давление в камере цилиндра.

Однако необходимо учесть теоретическую возможность обратного тока рабочей жидкости в случае отрицательной разницы давлений. Это возможно, если на поршень действует сила, превышающая силу, которую может создать рабочая жидкость. В таком случае возникает риск появления отрицательного значения под корнем в выражении.

Запустить проект на моделирование. Дождаться окончания процесса моделирования. Открыть результаты моделирования, которые находятся в блоке «Временной график» открыть свойства графика и установить следующие значения на вкладке «Графики и оси»:

• Для оси X:
  • «Минимум» - «0.9».
  • «Максимум» - «2».
  • «Шаг сетки» - «0.1».
  • «Автомасштаб» - деактивирован.
• Для оси Y:
  • «Максимум» - «0.01».
  • «Автомасштаб» - деактивирован.
• Графики:
  • Название графика «Камера + цилиндр» - «График».

Перед тем, как приступать к выполнению следующего пункта лабораторной работы, необходимо сохранить проект.

В соответствии с уравнением для блоков «Усилитель» необходимо в свойствах указать в поле «Формула» значение свойства «Коэффициент усиления» равным «2/ro» и «my*f_dr».

Также разработанную модель возможно сгенерировать в код Си, с последующим использованием его, как для ускорения расчета, так и для использования модели без SimInTech.

Камера и плунжер с пружиной должны быть объединены в один элемент, поскольку площадь сечения плунжера используется и в уравнениях камеры, и в уравнениях плунжера.

Для преобразования расчетной схемы в принципиальную необходимо использовать блок «Субмодель» из вкладки «Субструктуры». В разработанном проекте со схемой модели гидропривода добавить два блока «Субмодель» из вкладки «Субструктуры» и добавить к ним подписи «Гидроцилиндр» и «Дроссель».

Блоки «Двунаправленная шина (вход)»/«Двунаправленная шина (выход)» позволяют объединить две или более линии связи с разными направлениями в одну «шину» для моделей, где двунаправленная связь определена однозначно. Дроссель рассчитывает расход и передает его в камеру через контакт А, но для своего расчета ему необходимо знать давление в камере. Поэтому через контакт B на вход поступает расход и передается на дроссель, при этом на схеме используется одна линия связи.

Аналогичным образом разместить расчет площади плунжера из скрипта проекта в скрипт субмодели «Гидроцилиндр».

Перед тем, как приступать к выполнению следующего пункта лабораторной работы, необходимо сохранить проект.

Решение методом Эйлера

Рассмотренные способы моделирования используют готовые методы интегрирования, предоставляемые SimInTech. Однако, если есть необходимость интегрировать вручную, SimInTech предлагает широкий выбор численных методов для решения подобных дифференциальных уравнений. Самый простой из них — метод Эйлера. Суть этого метода заключается в том, что сначала производная представляется не как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, а как отношение разностей (т.е. переход к конечным разностям). Например, для первого уравнения системы:уравнение преобразуется в уравнение вида:где v_i+1 и v_i – скорости в моменты времени t_i+1 и t_i . Тогда решение становится простым: зная параметр в один момент времени, есть возможность рассчитать, каким он будет через промежуток времени Δt:Видно, что в этом уравнении в правой части только известные величины. Аналогичным образом необходимо преобразовать остальные уравнения системы. Если более упрощенно, то система уравнений в форме Коши - это когда слева стоят производные (скорости изменения величин), а справа - формулы для их вычисления. Чтобы решить систему методом Эйлера, необходимо знать начальное состояние Х1₀ ... XN₀.

Поскольку известны начальные состояния Х1₀ ... XN₀, то из системы в форме Коши есть возможность рассчитать скорости изменений всех величин V1₀ ... VN₀ в начальный момент времени. И если выбирать шаг Δt таким маленьким, чтобы все скорости в системе не менялись в течение шага интегрирования, то тогда любая величина на следующем шаге будет равна времени умноженному на скорость изменений: Х1₁ = Х1₀ + V1₀ × Δt.

Таким образом, получатся новые значения Х1₁ .. XN₁, и тогда из уравнений Коши получатся, в том числе, новые значения скорости. В результате, выполняя такие шаги, есть возможность рассчитать весь процесс.

Проведение расчетов методом Эйлера

Для расчета возможно использование цикла, написанного на языке C++ или Delphi. В данной лабораторной работе расчет будет производите в блоке «Язык программирования».

В результате выполнения цикла инициализации на выходе два вектора: вектор T – вектор времен, вектор Х – вектор положения штока. Задача решена – для любого значения времени есть положение штока.

Таким образом, SimInTech позволяет внутри каждого блока иметь свое рабочее пространство Matlab. Теперь возможно выводить все варианты на один график и производить сравнения и численные эксперименты. Перед тем, как приступать к выполнению следующего пункта лабораторной работы, необходимо сохранить проект.

Блок диаграмма математической модели при различных допущениях

При написании математической модели необходимо учитывать насколько подробно необходимо описать каждый элемент системы.

В данной лабораторной работе в модели плунжера возможно использование поршня, а вместо пружины - упругого элемента. Плунжер возможно представить как весомый или невесомый. Жидкость возможно моделировать как сжимаемую или несжимаемую. Объем камеры возможно считать изменяемым или постоянным. Дроссель возможно моделировать с учетом трубы, в которую он встроен, или без ее учета. Комбинация этих факторов дает как минимум 8 вариантов математической модели представленной схемы.

Если подробно остановиться на двух факторах: учет массы плунжера и сжимаемость жидкости, то тогда также нужно учесть и гравитацию Луны, и силу ветра в помещении. Однако, на практике инерция и сжимаемость жидкости не всегда оказывают значительное влияние на процесс перемещения плунжера. Например, при применении силы более 150 кГс и отсутствии пружины, учет массы плунжера необходим только в том случае, если она сравнима с этой силой. Учет массы в 100 г усложнит расчеты, но не повысит точность. То же самое относится и к давлению в системе, если оно не превышает 2–5 бар.

Теперь требуется представить математическую модель плунжера при различных допущениях. Исходная система уравнений с учетом сжимаемости жидкости выглядит следующим образом:

Перед тем как переходить к моделям с другими допущениями, необходимо предположить, что жидкость в системе сжимается, то несильно. Тогда давление рассчитывается исходя из равенства расходов:

Теоретически, в уравнение возможно подставить уравнение расхода через дроссель, перенести геометрический расход вправо и возвести все в квадрат, поскольку в системе присутствует всего два расхода. Таким образом, получится уравнение, которое позволяет определить давление через скорость поршня. Если бы в был еще один дроссель (например, на сливе), то требовалось бы возводить в квадрат дважды, при трех дросселях — трижды и так далее. Таким образом, если в дальнейшем постоянно выражать давление через расход, то в конечном итоге есть возможность столкнуться с невозможностью найти аналитическое решение для подобной задачи. Поэтому даже этот простой пример в SimInTech будет рассчитываться численно.

Из результатов видно, что колебания, которые были связаны не только с инерцией плунжера, но и со сжимаемостью жидкости, исчезли. Однако, на 1 секундах расчета давление резко возросло до 200 бар, затем постепенно увеличилось до 200 бар. Такое давление должен компенсировать установленный дроссель, однако блок «Нелинейное уравнение F(y) = 0» определил, что в момент резкого возрастания давление в камере должно быть равно давлению нагнетания, а затем оно уменьшается сразу после начала движения поршня.

Если не учитывать влияние инерции, то скорость перемещения поршня v будет полностью определяться расходом, поступающим в полость:

Для расчета расхода через дроссель, необходимо знать давление p в полости, которое рассчитывается из уравнения равновесия:

Теперь практически отсутствует скачок давления в начальный момент времени переходного процесса (при t = 1 с), хотя давление не начинается с нуля. Это объясняется тем, что в начальный момент времени из-за перепада давления в системе сразу же возникает расход через дроссель. Следовательно, скорость в начальный момент времени также не равна нулю, что приводит к появлению ненулевой силы вязкого трения в уравнении равновесия. В результате возникает небольшой скачок давления в начале переходного процесса.

Таким образом, в задаче необходимо учитывать сжимаемость рабочей жидкости, так как колебания системы связаны именно с этим свойством. В моделях, в которых учитывается только инерция, но не сжимаемость не оправдались. Видно, что при таких допущениях решатель выдает «рваный» график давления, что может быть связано с разными порядками расходов (1e-3) и давлений (1e+6). Кроме того, это приводит к большей вычислительной трудоемкости, даже без учета внутренних итераций.

Невозможно однозначно рекомендовать, в каких случаях нужно учитывать сжимаемость жидкости, а в каких - нет. Постоянная времени сжимаемого объема жидкости зависит от многих факторов. Общая рекомендация состоит в том, чтобы лучше учитывать сжимаемость везде, хотя это может увеличить время расчета. Однако, если известно, что масса пренебрежимо мала, то можно не учитывать ни сжимаемость, ни инерцию, что позволит упростить систему дифференциальных уравнений для каждого элемента на два порядка. В остальных случаях следует разрабатывать несколько математических моделей с различными допущениями и выбирать наиболее подходящую на основе фактических данных.

Использование библиотеки готовых элементов

Разработка математических моделей для разных допущений, а также разработка соответствующей структурной схемы в разы увеличивает время. Для упрощения задачи многие производители программ CAE улучшают пользовательский интерфейс, где математическая модель разрабатывается подобно сборке физической системы, а также используются готовые блоки физических элементов, что значительно облегчает процесс.

Разработка моделей собственными блоками в SimInTech, по известным уравнениям было рассмотрено в разделе (Разработка принципиальной схемы модели). Теперь требуется разработать модель из уже готовых блоков в SimInTech. В SimInTech есть библиотека «Гидро- и пневмосистемы», которая постоянно дорабатывается и расширяется. В ней уже содержатся готовые элементы, в которых подготовлены порты для соединения элементов в принципиальные гидравлические схемы. В SimInTech есть так же библиотека «Механика», где содержатся элементы для моделирования механических систем.

Добавить в скрипт проекта константы и расчет площади плунжера и сечения дросселя, которые задавали в предыдущих моделях (Рисунок 26).

Для оставшихся блоков также следует задать свойства. Поскольку плотность рабочей жидкости задать в блоках «ГПС - Гидравлический турбулентный дроссель постоянного сечения» и «ГПС - Гидравлический турбулентный дроссель постоянного сечения» нет возможности, то выбирается наиболее близкая среда АМГ-10, плотность которой равна 835,6 кг/м³.

Промежуточное резюме: Библиотека гидро- пневмосистем в SimInTech значительно ускоряет работу и обеспечивает большую наглядность модели. В отличие от других программ САЕ, SimInTech не скрывает от пользователя внутреннее содержание модели. Она не является "черным ящиком", а скорее практически открытым исходным кодом для математического моделирования гидравлики. Можно выбирать пакет и средство моделирования, а затем пытаться реализовать задачу с использованием специализированных инструментов. Или же можно использовать SimInTech и иметь возможность решать задачи любым удобным способом. SimInTech не ограничивает творческую свободу.