Лабораторная работа №1.
В теории нечетких множеств большую роль играют функции принадлежностей, описывающие степени принадлежности нечетких переменных нечетким множествам. Существует немалое количество типовых форм кривых для задания функций принадлежности.
В данной лабораторной работе будет разработана модель на базе нечеткой логики для исследования наиболее распространенных функций принадлежности: треугольной, трапецеидальной и Гауссова типа.
В обычной теории множеств одним из способов задания множеств является задание с помощью характеристической функции. Характеристическая функция множества A ∈ Х — это функция μA(x), значения которой указывают, является ли x ∈ Х элементом множества A, и принимает значение 1, если x ∈ A, или 0, если x ∉ A.
Нечеткое множество представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя точно утверждать – обладают ли эти элементы некоторым характеристическим свойством, которое используется для задания нечеткого множества. Нечеткое множество является расширением классического (четкого) множества. Нечеткое подмножество A универсального множества X определяется как множество упорядоченных пар A = {(x, μA(x)) | x ∈ X}, где μA(x) - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M = [0;1]. Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A.
На практике удобно использовать те функции принадлежности, которые допускают аналитическое представление в виде некоторой простой математической функции. Наиболее распространенные функции принадлежности представляются в виде следующих формул:
Переменные «a» и «c» задают основание треугольника, «b» – вершину, противолежащую основанию.
При этом функция принадлежности достигает своего максимального значения на уровне «1».
Когда c1>c2, нечеткое множество получается субнормальным, и функция в точке максимума имеет значение меньшее единицы.
Рисунок 1. Главное окно SimInTech c выделенным меню создания нового проекта.
Рисунок 2. Окно проекта «Схема модели общего вида».
Рисунок 3. Окно проекта с установленными блоками.
Рисунок 4. Окно проекта с выделенным блоком «Фазовый портрет».
Рисунок 5. Окно проекта с блоком «Фазовый портрет» с подписью «График треугольной функции принадлежности».
Необходимо соединить блоки линиями связи, для этого:
Рисунок 6. Окно проекта с блоками, соединенными линией связи.
При выполнении этих действий линия зафиксируется и на месте соединения линий связи появится точка (Рисунок 7).
Рисунок 7. Окно проекта с блоками, соединенными линиями связи.
Рисунок 8. Окно «Свойства» блока «НЛ – Функция принадлежности – Треугольная»» со свойствами по умолчанию.
Рисунок 9. Окно «Свойства» блока «НЛ – Функция принадлежности – Треугольная»» с новыми значениями свойств.
Величины «а» и «с» задают основание треугольника, то есть минимальное и максимальное значение входа, при котором треугольная функция равна «0»; величина «b» – его вершину, то есть значение входа, при котором функция принадлежности равна «1». Закрыть окно, тем самым сохранив внесенные изменения.
Рисунок 10. Окно графика с контекстным меню с выделенным пунктом «Свойства».
Рисунок 11. Окно «Свойства графика» блока «Фазовый портрет» с выделенными свойствами, которые необходимо изменить.
Рисунок 12. Окно «Свойства графика» блока «Фазовый портрет».
Для сохранения изменений и закрытия окна необходимо нажать кнопку «Ok».
Рисунок 13. Окно проекта с выделенной кнопкой «Пуск».
Рисунок 14. График треугольной функции принадлежности.
В результате анализа полученного графика установлено, что переменные «а» и «с», заданные равными «1» и «7», действительно задают основание с координатами «(1; 0)» и «(7; 0)», а переменная «b», значение которой задано равным «4» – вершину с координатой «(4; 1)». График полностью соответствует ожидаемым результатам.
Рисунок 15. Окно проекта с блоками, соединенными линиями связи и заданными подписями.
Рисунок 16. Окно «Свойства» блока «НЛ – Функция принадлежности – Трапецеидальная».
Величины «а» и «d» задают нижнее основание трапеции, то есть минимальное и максимальное значение входа, при котором трапецеидальная функция равна «0»; «c», «b» – верхнее основание трапеции, то есть минимальное и максимальное значение входа, при котором функция принадлежности равна «1».
Рисунок 17. Окно «Свойства графика» блока «Фазовый портрет» с подписью «График трапецеидальной функции принадлежности» с выделенными свойствами, которые необходимо изменить.
Нажатием кнопки «Ok» закрыть окно, при этом внесенные изменения сохраняются.
Рисунок 18. График трапецеидальной функции принадлежности.
В результате анализа полученного графика установлено, что переменные «а» и «d», заданные равными «1» и «9» действительно задают основание с координатами «(1; 0)» и «(9; 0)», а переменные «b» и «c», значения которых заданы равными «3» и «6» - верхнее основание с координатами «(3; 1)» и «(6; 1)». График полностью соответствует ожидаемым результатам.
Рисунок 19. Окно проекта с блоками, соединенными линиями связи и заданными подписями.
Рисунок 20. Окно «Свойства» блока «НЛ – Функция принадлежности – Гауссова».
Величина «c_vn» задает координату максимума функции принадлежности, то есть значение входа, при котором гауссова функция равна «1», «sigma_vn» – коэффициент концентрации, отвечающий за форму функции.
Рисунок 21. Окно «Свойства графика» блока «Фазовый портрет» с подписью «График функции принадлежности Гаусса», с выделенными свойствами, которые необходимо изменить.
Сохранить изменения нажатием кнопки «Ok».
Рисунок 22. График функции принадлежности Гаусса.
В результате анализа полученного графика установлено, что переменная «c_vn», заданная равной «5» действительно задает максимум с координатами «(5; 1)», а переменная «sigma_vn», значение которой задано равной «1» - задает дисперсию: функция в точках с координатами «c_vn±sigma_vn», равными «4» и «6» соответственно, имеет значения равные «0.6», что согласуется с теоретическим значением, рассчитанным по формуле:
График полностью соответствует ожидаемым результатам.
В данном задании необходимо разработать модель для исследования пяти двусторонних функций принадлежности Гаусса, то есть для пяти различных комбинаций значений параметров «a1», «c1», «a2», «c2», определяющих данную функцию.
Необходимо создать новый проект «Схема модели общего вида» и сохранить проект, указав желаемое имя проекта либо оставив имя проекта по умолчанию.
Рисунок 23. Окно проекта с блоками, соединенными линией связи и заданной подписью.
Рисунок 24. Окно «Свойства» блока «Размножитель».
Рисунок 25. Окно редактора блока «Язык программирования» с выделенной кнопкой «Закрыть и применить».
При подаче на вход блока сигнала, его значение передается во входную переменную «x». В качестве выходной переменной задается вектор «y[5]». Размерность задается явно, так как значения векторной переменной «y» передаются на выходной порт блока, который соединен с входным портом блока «Фазовый портрет», на который должен подаваться вектор размерности «5». После декларации входных и выходных переменных производится расчет значений двусторонней функции принадлежности Гаусса с помощью реализованной функции «Gauss2FM» для входной переменной «x» и заданных параметров «a1», «c1», «a2», «c2», при этом полученные значения записываются в соответствующие элементы выходного вектора «y» (строки 20–24). Расчет производится для пяти различных комбинаций параметров «a1», «c1», «a2», «c2», которые указываются в скобках при вызове функции «Gauss2FM».
После настройки модели и реализации функции для построения графиков двусторонней функции принадлежности Гаусса необходимо запустить процесс моделирования и дождаться окончания расчета.
Рисунок 26. Окно «Свойства графика» блока «Фазовый портрет» с подписью «Графики двусторонней функции принадлежности Гаусса – Первый способ», с выделенными свойствами, которые необходимо изменить.
Рисунок 27. Графики двусторонней функции принадлежности Гаусса.
В результате анализа полученного графика установлено, что функции, для которых с1 < c2, действительно достигают своего максимального значения, равного «1», на отрезке «[c1; c2]» («График 1 - 3, 5»), если же с1 > с2, то максимальное значение функции меньше «1» («График 4»). График полностью соответствует ожидаемым результатам.
Для создания модели на базе нечеткой логики необходимо воспользоваться тем свойством, что двустороння функция принадлежности Гаусса представляет собой комбинацию двух простых гауссовых функций принадлежности – возрастающей и убывающей, согласно четвертому пункту раздела «Аналитическое представление функций принадлежности».
На первом этапе требуется реализовать модель для построения одного графика двусторонней функции принадлежности Гаусса с параметрами «a1», «c1», «a2», «c2», равными соответственно «1», «3», «3», «9», и убедиться, что график совпадает с «График 1», построенным первым способом для того же набора параметров (Рисунок 27), то есть модель верна.
Рисунок 28. Окно проекта с соединенными блоками и заданными подписями.
Рисунок 29. Окно «Свойства» блока «НЛ – Функция принадлежности – Гауссова».
Рисунок 30. Окно «Свойства» блока «НЛ – Функция принадлежности – Гауссова».
Рисунок 31. Окно проекта с измененными графическими изображениями блоков.
Рисунок 32. Окно «Свойства графика» блока «Фазовый портрет» с подписью «График двусторонней функции принадлежности Гаусса – Второй способ», с выделенными свойствами, которые необходимо изменить.
Закрыть окно нажатием кнопки «Ok».
Рисунок 33. График двусторонней функции принадлежности Гаусса.
В результате анализа полученного графика установлено, что он совпадает с «График 1», построенным первым способом для того же набора параметров (Рисунок 27), то есть модель верна.
Для построения всех пяти графиков и сравнения полученных результатов с графиками, построенными первым способом, необходимо добавить по комбинации из трех блоков для каждого набора параметров.
Рисунок 34. Окно проекта с контекстным меню блоков с выделенным пунктом «Копировать».
Рисунок 35. Окно проекта с контекстным меню схемного окна проекта с выделенным пунктом «Вставить».
Рисунок 36. Окно проекта с заданными подписями к блокам.
Рисунок 37. Окно проекта с установленными блоками.
Рисунок 38. Окно «Свойства» блока «Мультиплексор».
Рисунок 39. Окно проекта с контекстным меню линии связи, с выделенным пунктом «Удалить».
Рисунок 40. Окно проекта с блоками, соединенными линиями связи.
После настройки схемы, для построения графиков двусторонней функции принадлежности, необходимо запустить процесс моделирования и дождаться окончания расчета.
Сохранить изменения и закрыть окно нажатием кнопки «Ok».
Рисунок 41. Графики двусторонней функции принадлежности Гаусса.
В ходе данной лабораторной работы были приобретены навыки работы с библиотекой «Нечеткая логика» для исследования наиболее распространенных функций принадлежности – треугольной, трапецеидальной, Гаусса и двусторонней Гаусса.