4 Пример - Крутильный маятник с демпфированием

Постановка задачи

Рассмотрим крутильный маятник в более реалистичном варианте - когда скручивание и обратное раскручивание маятника встречает еще сопротивление трения в тросике и, например, сопротивление воздуха. То есть у нас появляется момент сопротивления движению, пропорциональный угловой скорости вращения, а не только углу поворота.

Механическая схема приведена на рисунке, она полностью аналогична примеру номер 3:

Рисунок 1. Крутильный маятник, на подвесе

Примем только, что момент инерции системы равнен 75 кг·м², а жесткость пружины 250 Н·м/рад. То есть, смоделируем более тяжелую систему по сравнению с примером номер 3. Коэффициент деформирования для вращательного демпфера примем равным 5 Н·м/(рад/c).

Реализация модели

Для реализации модели такого маятника, вам надо по аналогии с третьим примером, найти в библиотеке механики расчетные блоки: "Инерция вращательного движения ", "Пружина вращательного движения ", "Заделка вращательного движения" и добавить к ним ещё блок типа "Фрикционный демпфер вращательного движения". Также, для вывода на график результатов моделирования, потребуется "Идеальный датчик вращательного движения ". Добавьте к нему временной график, для вывода угла поворота и угловой скорости, всё аналогично третьему примеру.

Соедините всё механическими линиями связи - от инерции вращательного движения к пружине и демпферу, от заделки также к пружине и демпферу с другой стороны, и потом порты датчика подключите к нужным шинам и к графику.

Задайте момент инерции равным 75 кг·м², а жесткость пружины 250 Н·м/рад. Начальную скорость вращения во вращательном элементе задайте на уровне 1 рад/с. Коэффициент деформирования для вращательного демпфера задайте равным 5 Н·м/(рад/c). В итоге у вас должна получиться следующая схема:

Рисунок 2. Расчетная схема крутильного маятника с демпфированием

Здесь также нет внешней силы, которая могла бы маятник сдвинуть из состояния равновесия. Поэтому пока что мы задали начальную ненулевую скорость, чтоб в системе присутствовало какое-то начальное количество энергии.

Моделирование и анализ результатов

Если запустить модель на расчет, мы получим затухающие колебания:

Рисунок 3. Результат расчета

Таким образом, добавление демпфирующего звена приводит к уменьшению энергии в системе и постепенной остановке маятника.

Дополнение к примеру

Для того чтобы "почувствовать" что на самом деле происходит в модели, лучше всего просмотреть пример с анимацией (расположен в папке с демо-примерами).

Давайте дополним нашу схему еще внешним источником крутящего, возмущающего момента, для того чтобы можно было бы вручную "толкать" маятник и пронаблюдать за его разгоном и/или последующей остановкой.

Для этого, дополните схему тремя блоками - типа "Кнопка" (вкладка Ключи), "Усилитель" (вкладка Операторы) и 4233.dita#. Кнопку сделайте без фиксации, а в усилителе задайте 300. Это будет величина внешнего возмущающего момента, которым мы сможем вручную закручивать маятник:

Рисунок 4. Схема дополнена внешним воздействием

После этого, задайте конечное время расчета например 10000 секунд (чтобы расчет не останавливался), и включите синхронизацию с реальным временем. Начальную скорость вращения вернуте к нулю. Запустив такую модель на расчет, вы в процессе расчета можете воздействовать на маятник, "толкая" или вернее закручивая его, приводя в движения. И, если подобрать нуные моменты времени, то его можно раскачать до относительно больших амплитуд вращения, аналогично тому как люди раскачивают детей на качелях. На рисунке ниже приведен один из таких расчетов:

Рисунок 5. Результат расчета с ручным управлением

Первые 4 нажатия кнопки были сделаны для "разгона" колебаний, в те моменты когда маятник крутился в сторону воздействия внешнего момента. Следующие несколько нажатий - наоборот, были подобраны так что они затормаживали маятник.

Если относительно долго удерживать кнопку (воздействовать на маятник постоянным моментом) - это будет равносильно как бы действию "силы тяжести" на пружинный маятник, то он перейдёт к колебаниям около точки равновесия, другой. А затем, при снятии внешнего воздействия - к возврату в изначальную точку равновесия:

Рисунок 6. Результат расчета с ручным управлением

Можете самостоятельно происследовать другие аспекты при измененных настройках маятника.