2 Пример - Демпфер

Постановка задачи

Рассмотрим подробно на примере демпфера в том числе и линию связи для организации поступательного прямолинейного движения. Например, у нас будет 4 блока типа "сила" (которые вычисляют силовое воздействие) и 1 блок типа "скорость" (вычисляет скорость инерционной массы).

Демпфером вообще называют устройство для гашения (демпфирования) или предотвращения колебаний, возникающих в устройстве какой-либо машины, в приборе, в системе или сооружении при их работе. В общем смысле демпфер — нечто, действующее успокаивающе, смягчающее.

В данном примере предполагаю аналогичные первому примеру допущения и условия:

• в начальный момент времени пружина не имеет деформаций;
• груз не имеет начальной скорости v(0) = 0 м/с, способен двигаться только вдоль вертикальной оси (вверх и вниз), принимаем что в начальный момент времени он, его центр масс, находится на 0-й координате по вертикальной оси z, которая направлениа вниз, то есть z(0) = 0 м;
• пружина имеет только упругие деформации, массой пружины пренебрегаем;
• масса груза равна 2 кг;
• на груз действует только сила тяжести, постоянная, равная произведению его массы на ускорение свободного падения (2 кг · 9.81 м/с² = 19.62 Н), и еще может воздействовать сила от пружины, в зависимости от её сжатия или растяжения;
• силы трения о воздух и/или диссипация энергии в пружине - рассматриваются в приближении что они прямо пропорциональны скорости движения;
• потолок неподвижен, всегда создает силу реакции опоры, равную силе натяжения пружины;
• перемещение груза вниз и вверх не встречает никаких препятствий.

Реализация модели

У нас есть реализованный пример пружинного маятника (1 Пример - Тяжелый груз на пружине) - давайте к нему добавим демпфирующий элемент, и превратим его в демпфер.

Для этого потребуется добавить в схему блок типа "Фрикционный демпфер поступательного движения", как показано на рисунке:

У данного блока, как и у блока типа "Механика - Пружина поступательного движения", два входных порта. Следовательно, он вычисляет силовое воздействие на две массы, которые должны быть подключены с одной и с другой стороны к этому блоку.

Задайте ему пока что небольшой коэффициент демпфирования. Можно оставить заданный по-умолчанию коэффициент 0.1 Н·с/м, или задать 0.2 Н·с/м . Это примерно соответствует как если бы пружинный маятник колебался в воздухе, с учетом вязкости материала пружины.

Моделирование и анализ результатов

Запустите систему на расчет - в результате колебания станут затухающими, но система все еще останется сильно колебательной. Это не похоже на демпфер:

Задайте коэффициент демпфирования на порядок больше, например, равным равным 1.5 Н·с/м. Запустите на расчет, результат сравните с рисунком:

При задании относительно большого коэффициента демпфирования, система перестанет быть колебательной, а переходной процесс примет качественно другой характер, и станет ближе к апериодическим процессам. Запустите на расчет, результат сравните с рисунком (мы задали 20 Н·с/м коэффициент демпфирования, все остальные свойства аналогичны первому примеру):

Теперь, давайте проанализируем процесс с точки зрения линии связи (шины данных), подключенной к массе (к грузу 2 кг). Если кликнуть по ней двойным щелчком мыши, то появится окно просмотра параметров, передаваемых по данной линии связи. И может быть не очень понятно что есть что. Потом, если зайти внутрь субмодели груза, можно так же двойным щелчком вывести передаваемые сигналы по другим - математическим линиям связи.

Например, на рисунке показано самое начало расчета - первая сотая секунды модельного времени. В этот момент скорость груза еще невелика (0.09 м/с), сила тяжести вносит основной вклад, пружина еще не растянулась, а демпфирующий элемент не сильно сопротивляется движению из-за его малой скорости.

Аналогично можно зайти и в другие субмодели (других блоков) и посмотреть на вычисляемые там силы.

Так, переходя из одного блока к другому, в принципе можно понять какие сигналы передаются по линии связи (по шине данных). Блок датчика делает очень простую операцию - считывает из шины данных нужные ему сигналы, и выводит наружу в виде уже математических портов. И к ним можно подключать блоки общетехнической библиотеки. Блок "Механика - Идеальный источник силы поступательного движения" делает операцию, обратную датчику - он сигнал, подаваемый на его математический вход, правильным образом "запаковывает" в механическую линию связи поступательного движения.

Математическая модель демпфера вычисляет силу, пропорциональную скорости движения массы. Когда мы установили большой коэффициент демпфирования, физически это аналогично движению груза в вязкой среде - например, в воде а не в воздухе, или в какой-либо другой вязкой жидкости.

Итоговое уравнение динамики, которое соответствует полученной модели, можно записать в виде:

То есть, добавилось слагаемое с первой производной координаты по времени - это и есть демпфирующее слагаемое.

Первые два примера довольно просты, и их можно набрать просто в схеме модели общего вида без применения блоков механики. При этом используется прием, когда на выходе интегратора есть искомая величина, например z(t), тогда на входе этого интегратора будет производная z'(t), а на входе еще одного интегратора, посталвенного перед этим, будет вторая производная z(t) по времени, z''(t):

Исходя из этого приема, а также преобразовав уравнение (2.1) в следующий вид:

Можно составить следующую простую модель демпфера из базовых блоков среды SimInTech:

И убедиться в идентичности получаемых результатов:

На практике, для простых моделей бывает удобнее использовать второй подход. Но для сложных моделей когда накладывается много взаимосвязей и дополнительных ограничений, более удобен подход реализованный в библиотеке Механики.