Виды и методы расчетов. Расчет стационарного риска и надежности

Модуль SARA позволяет производить следующие типы расчетов:

Надежность. Расчет показателей надежности элемента или подсистемы модели логико-вероятностным методом (ЛВМ). В результате вычисляются следующие показатели:
- минимальные сечения отказов, представляющие совокупность отказавших элементов;
- вероятность безотказной работы системы как функция времени;
- средняя наработка до первого отказа и между отказами системы;
- среднее время между отказами и среднее время восстановления;
- неготовность восстанавливаемой системы как функция времени;
- средняя неготовность восстанавливаемой системы за указанный период времени;
- плотность наработки до отказа;
- интенсивность отказов как функция времени;
- параметры потока отказов и восстановлений системы как функции времени;
- средние количества отказов и восстановлений как функции времени.
Стационарный риск. Расчет стационарных показателей надежности. В результате вычисляются следующие показатели:
- минимальные сечения отказов, представляющие совокупность отказавших элементов;
- неготовность системы;
- параметры потока отказов;
- средняя наработка между отказами,
- среднее время восстановления.
Монте-Карло. Расчет показателей надежности статистическим методом Монте-Карло. В результате вычисляются также расходы и доходы от использования системы.
Последствие. Расчет вероятности или частоты некоторого последствия, являющегося результатом аварийных последовательностей (деревьев событий).
Марковский граф. Расчет показателей надежности на основе марковского графа.

Первым этапом расчета для всех видов расчетов (кроме марковского графа) является получения минимальных сечений отказов (МСО). МСО – это совокупность отказавших элементов (а в некоторых случаях и наоборот – работоспособных), отказ которых приводит к отказу системы. Перечень МСО всегда приводится в результатах расчета. Далее на основе перечня МСО проводится расчет нужных показателей.

Расчеты надежности, риска и последствий используют так называемый логико-вероятностный подход. В этом случае модуль получает приближенное или точное аналитическое выражение вероятности отказа (или вероятности последствия при анализе аварийных последовательностей).

Сначала на основе графической модели (деревьев отказов/успехов, блок-схем и деревьев событий) формируется набор минимальных сечений для указанного критерия расчета. Каждое минимальное сечение – это минимальная совокупность событий, которая приводит к отказу системы по текущему критерию. Событиями в сечении обычно являются отказы элементов (базисных событий и блоков), но в некоторых случаях бывают и наоборот – отсутствия отказов элементов. Каждое из получаемых сечений минимально в том смысле, что, если убрать любое события из сечения, система останется работоспособной.

На основе списка минимальных сечений формируется аналитическая вероятностная функция

где q_i – это вероятности нахождения в отказавшем состоянии элементов системы; U_{системы}– вероятность нахождения в отказавшем состоянии всей системы согласно указанному в расчете критерию; F – некоторое алгебраическое выражение от своих аргументов.

Вид функции F зависит от применяемого метода расчета. В модуле SARA существует два метода расчета вероятностей:

Аппроксимация 1-го порядка - приближенный метод, работающий быстро.
Ортогонализация - точный метод, требующий значительного времени.

Метод аппроксимации 1-го порядка

Метод аппроксимации 1-го порядка позволяет быстро получить вероятность, когда количество МСО велико, но при этом используется допущение о том, что все сечения независимы. Данное допущение в действительности выполняется редко (все сечения должны содержать в себе разные элементы), но данный подход дает достаточно хорошую оценку вероятности отказа «сверху», то есть консервативно. При расчете используется формула:

где Q_i – это вероятности отдельных сечений.

Вероятность сечения вычисляется как произведение вероятностей отдельных элементов сечения:

где Q_{i, j}– это вероятность отказа j-го элемента сечения, если в сечение входит отказанный элемент, или вероятность отсутствия отказа, если в сечение входит работоспособное состояние элемента.

Метод ортогонализации

Метод ортогонализации является значительно более вычислительно трудным, но позволяет отказаться от допущения о независимости МСО и получить менее консервативное значение. В этом случае модуль сначала вычисляет вероятностный алгебраический полином.

После того как получена формула F, для каждого элемента системы вычисляется вероятность нахождения элемента в отказе как функция времени q_i(t) на основе указанных в параметрах показателей надежности. Фактически q_i(t) есть функция коэффициента неготовности элемента. Вычисления q_i(t) производятся в точках:

где параметр T_max – это максимальное время, N – количество интервалов. Чем больше будет количество интервалов N, тем более точным, но более трудоемким будет расчет.

Теперь модуль SARA имеет возможность вычислить неготовность системы (коэффициент неготовности, вероятность нахождения в отказавшем состоянии в заданный момент времени) как функцию времени (Рисунок 1)

Рисунок 1. График «Неготовность» - коэффициент неготовности системы U_{системы}(t_k) как функция времени.

Параметр потока отказов системы вычисляется по формуле (Рисунок 2):

где

w_i(t_k) – это параметр потока отказов i-го элемента, который вычисляется одновременно с q_i(t_k);

U_{системы}(t_k, q_i = 1) – вероятность нахождения системы в отказавшем состоянии при условии, что i-й элемент достоверно отказал;

U_{системы}(t_k, q_i = 1) – вероятность нахождения системы в отказавшем состоянии при условии, что i-й элемент достоверно работоспособен.

По аналогии вычисляется параметр потока восстановлений системы (Рисунок 3)

Рисунок 2. График «Поток отказов» - параметр потока отказов системы w_{системы}(t_k) как функция времени.

Рисунок 3. График «Поток восстановлений» - параметр потока восстановлений системы z_{системы}(t_k) как функция времени

На основе потока отказов и восстановлений рассчитываются средние количества отказов и восстановлений (Рисунок 4 и Рисунок 5):

На практике применяется численное интегрирование методом трапеций, точность которого зависит от количества интервалов.

Рисунок 4. График «Среднее количество отказов» - среднее количество отказов системы W_{системы}(t_k) как функция времени.

Рисунок 5. «Среднее количество восстановлений» - среднее количество восстановлений системы Z_{системы}(t_k) как функция времени

На основе ранее вычисленных показателей рассчитываются средняя наработка между отказами (MTBF) и среднее время восстановления (MTTR) по формулам:

Здесь T_down – это среднее время, в течение которого система будет находиться в неработоспособном состоянии за весь исследуемый интервал [0: T_max].

Средняя неготовность системы на всем интервале рассчитывается как

В конце производится расчет показателей надежности, описывающих наработку системы до первого отказа. Интенсивность отказов рассчитывается по формуле:

Вероятность отказа за время t и плотность вероятности наработки до отказа вычисляются по формулам:

По факту модулем SARA применяется численное интегрирование:

Рассчитанные функции отображаются на графиках в окне результатов расчета (Рисунок 6 - Рисунок 8).

Рисунок 6. График «Вероятность отказа» - вероятность отказа Q_{системы}(t_k) как функция времени.

Рисунок 7. График «Плотность наработки до отказа» - плотность наработки до первого отказа f_{системы}(t_k).

Рисунок 8. График «Интенсивность отказов» - интенсивность отказов λ_{системы}(t_k) как функция времени

Показатель среднего времени до первого отказа (MTTF) рассчитывается как интеграл:

Для получения точного значения средней наработки до отказа MTTF требуется, чтобы приведенный выше интеграл брался от нуля до бесконечности, что вычислительно невозможно. Поэтому для того, чтобы уменьшить возможную ошибку, требуется выбрать такое значение максимального времени T_max, чтобы U_{системы}(T_max) ббыло как можно ближе к единице. На практике вместо интеграла используется суммирование методом трапеций, поэтому количество интервалов также влияет на погрешность:

Рассмотренный расчет надежности подходит как для восстанавливаемых, так и для невосстанавливаемых систем. С помощью параметра «Невосстанавливаемый» в свойствах расчета задается, чтобы все элементы рассчитывались как невосстанавливаемые, даже если в свойства элемента задано обратное. В этом случае функция коэффициента неготовности будет совпадать с функцией вероятности отказа, а показатель MTTR будет равен нулю.