Уравнение Ньютона

В этом и двух последующих разделах описано составление уравнений движения механической системы с двумя степенями свободы через уравнения Ньютона [2], уравнения Лагранжа второго порядка и уравнения Гамильтона. Перечисленные уравнения затем решаются в SimInTech путём использования различных подходов к моделированию. Полученные результаты дают информацию о перемещениях, скоростях и ускорениях отдельных элементов механической системы в виде временных графиков (функции времени). Схема исследуемой механической системы приведена на рисунке (Рисунок 1).

Рисунок 1. Механическая система с двумя степенями свободы

Рассматриваемая механическая система с двумя степенями свободы состоит из двух тел с массами m1 и m2, соединённых между собой пружиной с коэффициентом жесткости k2 и демпфером с коэффициентом демпфирования b2. Тело m1 соединено с неподвижным основанием пружиной с коэффициентом жесткости k1 и демпфером с коэффициентом демпфирования b1. Система выполняет линейное движение в направлении осей пружин и амортизаторов, массы пружин и демпферов не учитываются. Для выведения системы из состояния покоя используется гармонически изменяемая сила F(t) = F0sin(ωt). Элементы системы выполняют линейное вынужденное колебательное движение. Уравнения этого движения:
где силы реакции в пружинах:
а демпфирующие силы:
Цель исследования: определить отклик колебательной системы в виде перемещений x1 = x1(t), x2 = x2(t). Для этого необходимо составить и решить системы дифференциальных уравнений. Для механической системы с двумя степенями свободы такая система дифференциальных уравнений представляет собой неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.