Уравнение Лагранжа

Далее определим уравнения движения вышеупомянутой системы при помощи уравнения Лагранжа второго порядка [2]. Для этого необходимо определить кинетическую и потенциальную энергию системы, а также диссипативную функцию Рэлея. Если принять обобщенные координаты как q1 = x1, q2 = x2, а обобщенные скорости как (1):

то кинетическая энергия системы равна (2):
потенциальная энергия (3):
диссипативная функция Рэлея (4):
обобщённые силы (5):
Раскрыв скобки для формулы потенциальной энергии системы (3) и диссипативной функции Рэлея (4), получим (6):
Уравнения Лагранжа второго порядка для рассматриваемой системы (Рисунок 1) с учётом обобщённых координат имеют вид (7):
После подстановки частных производных получаем уравнения движения в виде (8):

Уравнения (8) образуют неоднородную систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.

На рисунке (Рисунок 1) представлен вид схемы модели, реализующей решение уравнений Ньютона (Лагранжа), на рисунке ниже (Рисунок 2) (а, б, в) приведены результаты этого решения (моделирования).

Рисунок 1. Схема модели, реализующей решение уравнений Ньютона (Лагранжа) в SimInTech

Для удобства заполнения свойств блоков, размещённых на схемном окне, используется скрипт проекта:
m1 = 70; // масса первого тела, кг
m2 = 140; // масса второго тела, кг
k1 = 500; // коэффициент жесткости пружины между основанием и первым телом, Н/м
k2 = 250; // коэффициент жесткости пружины между первым и вторым телом, Н/м
b1 = 10; // коэффициент демпфирования демпфера между основанием и первым телом, Н*с/м
b2 = 50; // коэффициент демпфирования демпфера между первым и вторым телом, Н*с/м
F0 = 100; // амплитуда гармонически изменяющейся силы, Н
w = 2; // фаза гармонически изменяющейся силы, рад/с
x0 = 0; // начальные перемещения тел, м
V0 = 0; // начальные скорости тел, м/с

Рисунок 2. Результаты моделирования: a – изменение ускорения тел, б – изменение скорости тел, в – изменение перемещения тел