Анализ устойчивости и коррекция сар по частотным характеристикам и по полюсам

Лабораторная работа №2 по курсу «Управление в технических системах»

Введение

В лабораторной работе №1 рассмотрен ряд процедур работы в SimInTech применительно к основному режиму анализа динамических процессов в управляемых технических системах.

Для более глубокого анализа динамических характеристик систем автоматического регулирования (САР) широко используются методы, основанные на амплитудно-фазовых частотных характеристиках системы (АЧХ/ЛАХ, ФЧХ, годографы различного типа и др.). Поэтому в SimInTech реализован режим работы АНАЛИЗ, в виде набора блоков библиотеки «Анализ и оптимизация», который позволяют определить вышеперечисленные амплитудно-фазовые частотные характеристики большинства САР.

Для чисто линейных САР численные алгоритмы, реализованные в SimInTech, позволяют вычислить амплитудно-фазовые частотные характеристики (ЛАХ, ФЧХ, годограф Найквиста и др.) в классическом виде (по общеизвестным формулам из курса «Управление в технических системах»).

Для определения амплитудно-фазовых частотных характеристик нелинейных САР в малой окрестности стационарного состояния (нулевые начальные условия) или какого-то динамического состояния (ненулевые начальные условия) необходимо предварительно выполнить линеаризацию уравнений динамики САР.

Для многих нелинейных САР (не содержащих типовых нелинейных блоков с зоной нечувствительности) расчет частотных характеристик в SimInTech выполняется с использованием численной линеаризации динамической модели САР, выполняемой автоматически (расчетным ядром) в окрестности базовой точки.

Цель работы

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ И ПРОЦЕДУРЫ АНАЛИЗА

Анализ амплитудно-фазовых частотных характеристик

Методы и процедуры анализа будут рассмотрены в процессе выполнения дополнительного задания к рассмотренной в лабораторной работе №1 демонстрационно-ознакомительной задаче. Задачи, которые необходимо решить в процессе анализа АФЧХ САР:

  • исследовать устойчивость исходной САР с использованием критерия Найквиста по годографу АФЧХ и по совместному рассмотрению ЛАХ – ФЧХ;
  • исследовать устойчивость скорректированной САР с использованием критерия Найквиста по годографу АФЧХ и по совместному рассмотрению ЛАХ – ФЧХ, определив запасы по фазе и амплитуде.

Открыть сохранённый проект из лабораторной работы №1 (Рисунок 1).

Рисунок 1. Структурная схема САР.

Этап 1 – исследовать устойчивость исходной САР.

В свойствах блока «Интегратор» задать значение параметру «Коэффициент усиления» равным «1».

Запустить проект на расчёт. По результату моделирования убедиться, что переходной процесс расходящийся.

Известно, что критерий Найквиста позволяет оценить устойчивость замкнутой линейной САР по АФЧХ разомкнутой САР.

Добавить на схему блок «Построение частотных характеристик» из вкладки «Анализ и оптимизация» и блок «Константа» из вкладки «Источники». В свойствах блока «Константа» в поле «Значение» строки «Значение» задать «0». Задать блоку «Построение частотных характеристик» подпись «ЛАХ, ФЧХ». Изменить подключение блоков согласно рисунку (Рисунок 2).

Рисунок 2. Структурная схема САР.

Запустить проект на расчёт и убедиться, что вид переходного процесса типичен для САР, находящихся на апериодической границе устойчивости (один нулевой полюс).

Нажать правой кнопкой мыши по блоку «Построение частотных характеристик» с надписью «ЛАХ, ФЧХ» и выбрать пункт «Свойства объекта» (Рисунок 3).

Рисунок 3. Контекстное меню блока «Построение частотных характеристик».

В окне «Свойства» задать значения согласно рисунку (Рисунок 4).

Свойства «Начальная частота» и «Конечная частота» задают границы частотного диапазона (в 1/с), а свойство «Число точек вывода» – количество расчетных точек, равномерно распределенных (в логарифмическом масштабе) внутри частотного диапазона.

Значения свойств «Относительное приращение для Якобиана»и «Абсолютное приращение для Якобиана» используются в расчете АФЧХ при автоматической линеаризации САР. В линейных системах расчет частотных характеристик не использует эти данные.

Рисунок 4. Свойства блока «Построение частотных характеристик».

Открыть график расчёта двойным нажатием левой кнопкой мыши по блоку «Построение частотных характеристик» с подписью «ЛАХ, ФЧХ». Нажатием правой кнопки мыши по графику открыть контекстное меню и выбрать пункт «Свойства». В открывшемся окне «Свойства графика» задать параметры согласно рисунку (Рисунок 5).

Рисунок 5. Свойства графиков ЛАХ и ФЧХ.

При установке данных значений график примет вид согласно рисунку (Рисунок 6).

Рисунок 6. Графики ЛАХ, ФЧХ.

График показывает, что фазовая характеристика пересекает линию -180° раньше, чем характеристика Lm(ω)

пересекает линию 0 дБ. Нажать правой кнопкой мыши по графику и выбрать пункт «Анализ данных»–> « Табличный просмотр»: таким образом данные расчёта отобразаятся в виде таблицы. Прокруткой таблицы найти строку, в которой график с именем «ФЧХ» пересекает уровень -180° (соответствующая частота ω = 1.047128) (Рисунок 7) и убедиться, что Lm(ω)

> 0 (0.14123271), а фазовый сдвиг φ(ω) < -180° (-184.6). Следовательно, при замыкании САР единичной обратной связью она будет неустойчивой, что и показано в графике переходного процесса при исходных параметрах САР (Лабораторная работа №1).

Рисунок 7. Табличные значения ЛАХ, ФЧХ.

Для построения годографа Найквиста для разомкнутой САР необходимо добавить блок «Построение частотных характеристик» с вкладки «Анализ и оптимизация». Задать подпись блока и провести лини связи соглано рисунку (Рисунок 8).

Рисунок 8. Структурная схема САР.

Нажатием правой кнопки мыши по блоку с подписью «Годограф Найквиста» вызвать контекстное меню и выбрать пункт «Свойтва объекта». В открывшемся окне «Свойства» задать значения согласно рисунку (Рисунок 9).

Рисунок 9. Свойства блока с подписью «Годограф Найквиста».

Нажать левой кнопкой мыши по кнопке «Пуск». Будет выполнен расчет годографа Найквиста, а на графике отобразится результат расчета.

Открыть график расчёта двойным нажатием левой кнопкой мыши на блок «Построение частотных характеристик» с подписью «Годограф Найквиста». Нажатием правой кнопки мыши по графику открыть контектное меню и выбрать пункт «Свойства». В открывшемся окне «Свойства графика» задать параметры согласно рисунку (Рисунок 10).

Рисунок 10. Свойства графика годографа Найквиста.

Из критерия Найквиста известно, что САР, находящаяся на апериодической границе устойчивости в разомкнутом состоянии, станет устойчивой при ее замыкании главной обратной связью, если годограф Найквеста не охватывает на комплексной плоскости «точку Найквиста» (-1, 0·i). Поэтому рассмотрим внимательно поведение линии годографа в окрестности точки (-1, 0·i).

Так как линия годографа разомкнутой САР без сомнения охватывает точку (-1, 0·i) (Рисунок 11), то справедливо резюме: исходная САР в замкнутом состоянии будет неустойчива.

Рисунок 11. Годограф Найквиста.

Этап 2 – исследование устойчивости скорректированной САР.

В блоке «Интегратор» задать свойство «Коэффициент усиления» в блоке с подписью «W₁(s)» равным «0.35», что соответствует оптимальному значению (Лабораторная работа №1).

Запустить проект на рсчёт.

Линия годографа разомкнутой САР не охватывает точку (-1, 0·i) (Рисунок 12). Вывод: скорректированная САР с коэффициентом усиления «0.35» в замкнутом состоянии будет устойчива.

Рисунок 12. Годограф Найквиста.

Анализировать графики ЛАХ и ФЧХ (Рисунок 13). Из критерия Найквиста известно, что САР, находящаяся на апериодической границе устойчивости в разомкнутом состоянии, станет устойчивой при ее замыкании главной обратной связью, если график ЛАХ пересекает линию 0 дБ раньше, чем график ФЧХ линию -180°. Анализ графиков φ(ω)

и Lm(ω) показывает, что при замыкании единичной обратной связью САР станет устойчивой.

Рисунок 13. Графики ЛАХ, ФЧХ.

Выполнить нажатие правой кнопкой мыши на график ЛАХ, ФЧХ и выберать пункт «Анализ данных» -> «Табличный просмотр»и определить запасы по фазе (в градусах) и амплитуде (в дБ). Эти запасы должны составлять ~ 94° и ~ 8.2 дБ, соответственно (Рисунок 14). Запас по фазе достаточен, однако крайне малый запас по амплитуде (должно быть ~ 30...40 дБ).

Рисунок 14. Таблица значений ЛАХ, ФЧХ.

Определение полюсов, нулей и коэффициентов передаточных функций

В блоке «Интегратор» задать значение «Коэффициент усиления» равный «1».

Добавит блок «Построение передаточных функуий» с вкладки «Анализ и оптимизация». Задать имя блока и соеденить линии связи согласно рисунку (Рисунок 15).

Рисунок 15. Структурная схема САР.

Значения свойств «Относительное приращение для Якобиана» и «Абсолютное приращение для Якобиана» можно оставить без изменений, так как в чисто линейных САР расчет параметров передаточных функций не использует данных по приращениям Якобиана. Использование данных по приращениям Якобиана имеет место в расчете параметров линеаризуемых САР (SimInTech автоматически выполняет линеаризацию в окрестности базовой точки).

Запустить проект на расчёт. Двойным нажатием левой кнопкой мыши по блоку «Построение передаточных функций». Появится информационное окно с результатами расчета параметров передаточных функций. В окне «Коэффициенты передаточных функций» приведены результаты расчета коэффициентов числителей и знаменателей передаточной функции по возрастающим степеням s, полюсы и нули передаточных функций САР (Рисунок 16).

Рисунок 16. Результаты расчета параметров передаточной функции для разомкнутой САР.

Учитывая, что эквивалентная передаточная функция рассматриваемой разомкнутой САР определяется соотношением:

прямой подстановкой исходных передаточных функций в это соотношение легко убедиться в правильности расчета SimInTech коэффициентов эквивалентной передаточной функции. Для этого выполните подстановку и сравните.

Результаты расчета полюсов показывают, что исходная САР в разомкнутом состоянии находится на апериодической границе устойчивости, так как три полюса расположены в левой полуплоскости, а один – в начале координат.

Удалить блок «Константа» со схемы. Для этого необходимо выделить этот блок левой кнопкой мыши и нажать кнопку «Delete». Подключить свободный вход блока «Сравнивающее устройство» к выходной линии САР согласно рисунку (Рисунок 17) и запустить проект на расчёт.

Рисунок 17. Структурная схема САР.

Двойным нажатием левой кнопкой мыши по блоку «Построение передаточных функций» открыть окно «Коэффициенты передаточной функции» с результатами расчета параметров передаточной функции исходной САР в замкнутом состоянии (Рисунок 18).

Рисунок 18. Результаты расчета параметров передаточной функции для замкнутой САР.

Анализ информации подтверждает вывод об отсутствии устойчивости исходной САР в замкнутом состоянии: два действительных полюса расположены в левой полуплоскости, а два комплексно-сопряженных полюса – в правой полуплоскости.

В блоке «Интегратор» задать свойство «Коэффциент усиления» равным «0.35». Запустить проект на расчёт.

Двойным нажатием левой кнопкой мыши по блоку «Построение передаточных функций» открыть окно «Коэффициенты передаточной функции» (Рисунок 19).

Рисунок 19. Результаты расчета параметров передаточной функции для замкнутой САР.

Анализ информации в окне «Коэффициенты передаточных функций» подтверждает вывод об устойчивости скорректированной САР в замкнутом состоянии. Все четыре полюса расположены в левой полуплоскости (два отрицательных вещественных и два комплексно-сопряженных с отрицательной вещественной частью).

Сохранить проект.

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ И КОРРЕКЦИЯ САР ЯДЕРНОГО РЕАКТОРА

АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

В процессе выполнения лабораторной работы №1 сформировали структурную схему простейшей математической модели динамики САР ядерного реактора (ЯР), внешний вид которой имел вид, приблизительно соответствующий структурной схеме (Рисунок 20).

Подписи под блоками, которые формируют преобразование и отображение сигналов (Рисунок 20) дают минимальную информацию, по которой необходимо вспомнить цель задания в предыдущей лабораторной работе и примененные «нестандартные» методы ее решения.

Откройть сохраненный проект с моделью динамики САР ЯР.

В данной части лабораторной работы предстоит последовательно выполнить ряд этапов, направленных как на исследование частотных характеристик только ядерного реактора, так и на анализ САР ЯР в целом, включая анализ устойчивости САР ЯР с использованием частотного критерия Найквиста и по теоремам Ляпунова.

Учитывая, что для расчета в SimInTech амплитудно-фазовых частотных характеристик необходимо указать на структурной схеме точки приложения единичного гармонического воздействия и точки «выхода», должны определить (самостоятельно) места расположения вышеуказанных точек и затем внести в структурную схему соответствующие изменения.

Примечания:

При выполнении ряда этапов предстоит, в частности, исследовать АФЧХ реактора без обратных связей при двух значениях времени жизни мгновенных нейтронов и двух значениях доли запаздывающих нейтронов. Это потребует от Вас создания модели кинетики для второго ядерного реактора, которую можете расположить в свободном месте окна проекта.

Рисунок 20. Структурная схема простейшей математической модели динамики САР ядерного реактора.

При расчете и построении графиков АФЧХ рекомендуется задавать 700 расчетных точек, равномерно расположенных в логарифмическом масштабе в диапазоне частот от 10-3 до 104 Гц.

Для выполнения данной части лабораторной работы необходимо выполнить следующие этапы:

1) В рамках одного графика построить АФХЧ реактора без обратных связей при двух значениях времени жизни мгновенных нейтронов l=lисх (реактор типа РБМК) и l=0.01·lисх (реактор типа ВВЭР для плавучих АЭС) и построить графики следующих характеристик:
  • годографы Найквиста (два годографа на одном графике);
  • логарифмические амплитудные характеристики (две ЛАХ на одном графике);
  • фазовые частотные характеристики (две ФЧХ на одном графике).

Уяснить качественное влияние на вид этих характеристик значения времени жизни мгновенных нейтронов.

2) В рамках одного графика рассчитать АФХЧ реактора без обратных связей при двух значениях доли запаздывающих нейтронов β=βисх(топливо U-235) и β=0.3·βисх (топливо Pu-239) построить графики следующих частотных характеристик:

  • годографы Найквиста (два годографа на одном графике);
  • логарифмические амплитудные характеристики (две ЛАХ на одном графике);
  • фазовые частотные характеристики (две ФЧХ на одном графике).

3) В рамках одного графика при исходных параметрах САР ЯР рассчитать АФХЧ реактора без обратынх связей и АФЧХ ядерного реактора с местной обратной связью и построить графики следующих частотных характеристик:

  • годографы Найквиста (два годографа на одном графике);
  • логарифмические амплитудные характеристики (две ЛАХ на одном графике);
  • фазовые частотные характеристики (две ФЧХ на одном графике).

Проанализировать качественное влияние на вид этих характеристик отрицательной обратной связи по температуре топлива.

4) Выполнить оценку устойчивости исходной САР в разомкнутом и замкнутом состояниях, использую непосредственное вычисление полюсов соответствующих передаточных функций.

5) Выполнить контрольное моделирование при подаче управляющего воздействия u(t)=0.05·1(t) и убедиться, что исходная САР в замкнутом состоянии либо неустойчива, либо имеет явно «плохое» качество переходного процесса

6) Выполнить анализ устойчивости исходной замкнутой САР, используя критерий Найквиста в следующих вариантах его применения:

  • по годографу АФЧХ разомкнутой САР;
  • по одновременному рассмотрению ЛАХ и ФЧХ разомкнутой САР.

7) Определить во сколько раз необходимо уменьшить скоростную эффективность привода регулирующего стержня, чтобы запас устойчивости по амплитуде составлял не менее 30 дБ, а запас по фазе – не менее 60°.

8) Выполнить коррекцию САР (уменьшить Kпр) и прямым моделированием убедиться, что при подаче управляющего воздействия u(t)=0.05·1(t) скорректированная САР устойчива и имеет удовлетворительное качество переходного процесса.

9) Проверить устойчивость скорректированной замкнутой САР, используя критерий Найквиста в следующих вариантах его применения:

  • по годографу АФЧХ разомкнутой САР;
  • по одновременному рассмотрению ЛАХ и ФЧХ разомкнутой САР.

10) Определить запасы устойчивости скорректированной САР по амплитуде и по фазе.

11) Выполнить проверку устойчивости скорректированной САР в замкнутом состоянии, используя непосредственное вычисление полюсов характеристического полинома замкнутой САР.

12) Определить аналитические выражения главной передаточной функции Φ(s) и передаточной функции по возмущающему воздействию Φf(s).

13) Сохранить проект.