Математическая модель гидравлического распределителя

Теперь нужно присоединить к гидроцилиндру распределитель. Начнем с самого распространенного варианта гидравлического распределителя — 4/3 с закрытым центром и вариант его конструктивной схемы (см. Рисунок 1):

Рисунок 1. Дроссель и конструктивная схема

В корпус с расточками вставлен цилиндрический золотник с тремя буртиками. В центральную проточку подается давление питания, а крайние соединены со сливом. Полости между буртиками золотника могут быть соединены с соответствующими полостями гидроцилиндра.

Кромки золотника образуют с расточками корпуса дросселирующие щели, площади которых зависят от смещения золотника.

Обзовем их в соответствии с названиями гидравлических линий:

ТА — соединяет полость А со сливом;

РА — соединяет полость Р с линией А;

РВ — соединяет полость Р с линией В;

ТВ — соединяет полость В со сливом.

Площади щелей f я обозначил соответствующими индексами.

Внимательно посмотрим, как меняются площади при смещении золотника:

Рисунок 2. Изменение проходного сечения

Видно, что в нашем случае площади щелей РА и ТВ, ТА и РВ ведут себя попарно одинаково. Когда открыты щели РА и ТВ, щели ТА и РВ закрыты. И наоборот.

Конечно же, внимательный читатель заметил, что распределитель в нашей задаче отличается от рассмотренного. В нашем распределителе в нейтральном положении линии А и В соединены со сливом. Чтобы привести в соответствие модель, мы должны немного подправить конструктивную схему:

Рисунок 3. Схема со сливом в нейтральном положении

Для соединения в нейтральном положении линий А и В со сливом нужно всего-то создать отрицательные перекрытия S кромкам ТА и ТВ. Я выбрал перекрытия — 20% от максимального смещения золотника. А чтобы при малейшем смещении не соединять нагнетание со сливом, придадим напорным кромкам РА и РВ небольшое положительное перекрытие (5% от максимального смещения золотника). Посмотрим, что получится на графике площадей:

Рисунок 4. Схема со сливом в нейтральном положении

Видно, что при нулевом положении площади сливных кромок ТА и ТВ не равны нулю. При этом, напорные кромки открываются при ненулевом смещении золотника. Т. к. в нашем простейшем примере в корпусе одинаковые проточки, линии изменения площадей будут проходить с одинаковым наклоном.

Поставим новый блок Субмодель на схему и создадим модель изменения проходного сечения в зависимости от положения золотника.

В качестве тестового перемещения золотника будем использовать блок Линейный источник, выход которого вычисляется по формуле у = a + b×t .

Где t – время моделирования; если задать a = -1 и b = 0.2 то за 10 секунд модельного времени выход изменится от – 1 до 1.

Для моделирования сечения мы будем использовать блок Излом из закладки «Нелинейные». Чтобы не плодить кучу блоков, мы все 4 площади построим с использованием одного блока. Для этого воспользуемся тем, что практически все блоки в SimInTech являются векторными. Мы в свойствах блока вместо одного значения укажем вектор из 4 значений, соответствующих графику на рисунке выше.

В итоге вместо одного излома наш блок построит 4 разных, что нам и требуется. (см. Рисунок 5)

Рисунок 5. Параметры блока излом

Для того, чтобы получить 4 значения, нам на вход нужно подать также 4 числа. Используем блок-размножитель, чтобы из одного положения золотника сделать 4 (одинаковых) и подать их вектором в блок Излом.

У меня получилась схема, изображенная на рисунке (Рисунок 6).

Рисунок 6. Схема расчета площади сечений

Чтобы проверить правильность расчета, я подключил фазовый портрет и получил результат, соответствующий рисунку * (см. Рисунок 7)

Рисунок 7. Зависимость проходного сечения от положения золотника

Теперь осталось дело за малым — превратить конструктивную схему в расчетную и описать всё уравнениями.

Каждую дросселирующую щель мы представим в виде дросселя с изменяемой площадью проходного сечения. Как вы уже догадываетесь, площадь мы будем получать из графиков выше; зная перемещение золотника, определить расходы - дело техники.

Рисунок 8. Гидравлическая схема дросселя

Как и в случае с моделью гидроцилиндра, направим все расходы в одном направлении. Знак расхода будет определяться, исходя из знака перепада давлений. В итоге формулы для расходов будут выглядеть так:

Ещё раз обращаю внимание, что раз уж мы направили все расходы в одном направлении, считать их нужно соответствующим образом. В последних двух уравнениях при вычислении перепада давлений мы вычитаем из давления слива давление в соответствующей полости. Знак расхода при этом определяется функцией sign. Таким образом, при нулевом давлении слива эти расходы практически никогда не будут положительными, но тем не менее мы направляем их именно так, чтобы при анализе не было путаницы. Теперь мы всегда будем знать, что если расход положителен, он направлен от источника питания к потребителю, если отрицателен — наоборот. Очень удобно!

Теперь, чтобы найти все необходимые расходы, поступающие в наш распределитель или выходящие из него, нужно просто алгебраически сложить соответствующие составляющие (см. Рисунок 8):

Видно, что для каждого расхода нужно получить пару давлений и использовать площадь соответствующего зазора см. формулу *. А поскольку мы уже создали вектор расходов в зависимости от положения золотника, то логично его и использовать.

Добавляем на схему 4 блока Порт выхода, это будут порты для подключения гидравлических линий связи к камерам А и В и напорной линии P и T и один порт входа для задания положения золотника.

Вход золотника ограничиваем блоком Линейное с насыщением, чтобы ограничить возможные значения площади проходных сечений. К каждому блоку гидравлических связей подключаем блок Двунаправленная шина (вход). Схема должна получится аналогичной схеме на рисунке (Рисунок 9). Я расположил входы в камеры цилиндра сверху-справа, а входы на напоре и слива внизу-слева.

Рисунок 9. Схема формирования подключении для блока распределителя

На выходе из блока излом у нас вектор из 4 площадей. Для расчета нам нужно подготовить вектора из давлений источников и давлений приемников, что бы мы могли сформировать разницу давления для расчета по формулам *.

Чтобы не рисовать множество линий мы воспользуемся блоками В память и Из памяти. Полученные давления мы запишем в переменные PA, PB, PT, PP блоки В память (см. Рисунок 10).

У меня на схеме на зря подписан блок излом, в подписи блока порядок следования в данном блоке переменных площадей проходных сечений. Эта последовательность определяет нам последовательность подключения давлений источников и приемников. Первое значение в векторе площадей – это площадь f_pb между напором и камерой В, значить первый источник давление напора PP и первый приемник давление в камере B – PB. Второе значение площадь f_ta источник давление PT, приемник камера А – PА и т.д. Таким образом, мы сформируем вектор перепадов давлений, соответствующий вектору площадей.

Рисунок 10. Схема формирования переменных для расчета перепада давления

Хотя мы и будем использовать блок-схему для расчета расходов, без языка программирования нам все равно не обойтись. В скрипте блока «Распределитель» мы подготовим константы и рассчитаем значения для интерполяции расходов.

Находясь внутри золотника, вызовем окно «Скрипт» для формирования переменных необходимых для расчета расхода при разных перепадах давления. Текст программы представлен на рисунке (Рисунок 11).

Рисунок 11. Программа подготовки значений расхода для интерполяции

Вместо того, чтобы рассчитывать на каждом шаге интегрирования расход, мы заранее на этапе инициализации, насчитываем набор расходов при заданном давлении от 0 до 300 бар, с шагом 1 бар (1е5 Па), и сохраним два вектора:

dP – перепады давления,

Qn – расходы соответствующие перепадам при полном открытии.

Для использование этих векторов на схеме мы применяем два блока Константа из закладки “Источники”. В блоках в свойствах значение указываем имена переменных dP и Qn, таким образом мы передадим на схему два вектора, который рассчитали в секции инициализации.

Теперь у нас все готово чтобы посчитать расход.

Окончательная схема блока распределитель представлена на рисунке (Рисунок 12).

Рисунок 12. Схема модели распределителя

Модель блока распределителя работает так: вектор разницы давлений направляется блок Абсолютное значение, потом на блок Интерполяция, в который подаются значения рассчитанные в секции инициализации вектора dP, Qn. По абсолютным значениям 4-х перепадов рассчитываются значения 4-х расходов при полном открытии, после этого происходи умножение на коэффициент соответствующий коэффициент открытия получений после блока излом, а также умножается на значение Знак (положительное или отрицательное значение перепада).

На выходе мы получаем вектор из 4 расходов QPB, QTA, QTB, QPA.

Для получения результирующего расхода нужно сложить расходы, в индексах которых есть соответствующая буква (см. формулу *).

Опять-таки, чтобы не проводить множество линий связи, мы расходы записали в переменные (желтые блоки В память ). А на выходы забрали значения из блоков (зеленые блоки Из памяти).

Въедливый и занудный читатель увидит, что в нашей модели золотника мы ввели кучу серьезных допущений:

1. Коэффициент расхода у нас постоянный, хотя, очевидно, что в реальности он будет зависеть не только от числа Рейнольдса, но и от направления движения жидкости. При движении из полости между буртиками золотника в сторону проточки (сливная щель), он будет меньше, а при движении обратно (наливная щель) он будет больше из-за влияния шейки золотника.
2. Не учитывается микрогеометрия золотника. На самом деле, золотник неидеально прилегает к стенкам, а значит будут иметь место перетечки между полостями. Кроме того, кромки золотника не могут быть идеально острыми, а имеют радиус скругления, как правило, не меньше 4 мкм. Это тоже может существенно сказаться на точности моделирования.
3. Здесь мы совсем не касаемся гидродинамической силы, хотя она может сказаться на динамике распределителя.

На самом деле, ничего страшного в этом нет.

Во-первых, данная модель может быть использована на ранних стадиях проектирования для выбора основных параметров гидропривода.

Во-вторых, эта модель запросто может быть дополнена всеми указанными эффектами.

Далее: Гидропривод с питанием от источника постоянного давления неограниченной мощности